Cтраница 3
Например, применение к словам и и v дает слово и у, и аналогично задаются две другие операции. Алгебра Ф абсолютно свободна: если А - произвольная алгебра с теми же операциями, то каждое отображение Х - А однозначно продолжается до гомоморфизма Ф - А. [31]
Для этого, разумеется, достаточно показать, что все максимальные торические подалгебры в L сопряжены относительно Aut L. Это будет сделано в § 16, причем в более общем случае произвольной алгебры Ли L, когда аналогом торической становится картановская подалгебра. Этот более широкий контекст на самом деле упрощает доказательство, позволяя использовать специфические свойства разрешимых алгебр Ли. В настоящем параграфе мы подготовим необходимый аппарат; здесь поле F может иметь произвольную характеристику, если не оговорено противное. [32]
Настоящая работа возникла в результате совместных обсуждений с В. Автор благодарен В.В.Бажанову и Н.Ю.Решетихину предположивших, что обобщение результатов [6] на случай произвольных алгебр Ли должно приводить к новым тождествам дал дилогарифмов. Автор благодарен Л.Д.Фаддееву за постоянный интерес к работе. [33]
В этом параграфе будет введен еще один тип алгебр, более широкий, чем рассмотренный выше класс дистрибутивных кольцоидов над абелевыми алгебрами, но не менее естественный. Абелевы алгебры появились у нас потому, что мы хотели обеспечить суммируемость гомоморфизмов произвольной алгебры сигнатуры Q в данную алгебру. Эта потребность отпадает, однако, если мы буцем рассматривать не гомоморфизмы, а произвольные отображения. [34]
Через многообразия мономиальных алгебр проходит мост, связывающий структурные свойства тождеств и комбинаторику слов. Вот общая схема рассуждений: тождество / не выполняется в многообразии f не выполняется в мономиальной алгебре А некоторое слово в произвольной алгебре, графически совпадающее со словом из Л, с помощью тождества / переводится в линейную комбинацию других слов. Последнее дает возможность осуществлять приведение. Применим указанный подход для алгебры матриц и алгебры верхнетреугольных матриц, а также докажем леммы, нужные для § 2.2. Говоря о словах из Wd ( A), мы говорим о словах, графически совпадающих со словами алгебры А. [35]
В этом пункте мы осуществим спуск по этажам прямоугольника, отвечающего рядам Гильберта конечно определенных алгебр - покажем, как можно спуститься от произвольной алгебры к квадратичной, а затем установим связи с прямоугольником алгебр Хопфа. [36]
У з к о в а [ 51 посвящена построению мультипликативной теории идеалов в некоммутативных кольцах: в кольце с единицей: отмечается некоторое подкольцо центра, по отношению к этому подкольцу определяются порядки и идеалы и указываются необходимые и достаточные условия для однозначной разложимости двусторонних и односторонних идеалов в произведение степеней простых идеалов. Эта теория содержит в качестве частных случаев мультипликативную теорию идеалов в коммутативных кольцах, принадлежащую Нетер, и теорию идеалов в полупростых алгебрах конечного ранга, построенную Брандтом, Артином и Дойрингом, причем А. И. Узкое распространил последнюю теорию на случай произвольных алгебр конечного ранга. [37]
L ( F) и содержит все другие инвариантные подалгебры. Это частично подтверждает гипотезу 2, которая целиком выполняется в р-алгебрах картановского типа ( см. гл. Для произвольной алгебры L ( F) равенство NL ( F) () Й0 установить, по-видимому, нелегко, так как однородные компоненты j разбросаны по L ( F) h весьма причудливым образом. [38]
А), содержащее алгебру Л, состоит из алгебр, изоморфных подалгебрам ультрастепеней алгебры А. В силу условия з) В будет локально-конечна. Тем самым каждая конечная подалгебра локально-конечной алгебры В ( произвольной алгебры из условного многообразия М ( А)) изоморфно вложима в алгебру А. [39]
Ли при р 5 укладываются в четыре бесконечный серии алгебр картановского типа Wn, Sn, Нп, Kn - общие, специальные, гамильтоновы и контактные. Полученные до сих пор в разных странах результаты прекрасно согласуются с этой гипотезой, причем оказалось, что ограничение р 5 существенно. В работе [62] техника полных картановских продолжений была развита в применении к произвольным алгебрам Ли, не обязательно обладающим р-структурой. Были сконструированы и изучены эталонные примеры простых градуированных алгебр Ли. Фактическими результатами работы [62] положено начало реализации обширной классифицированной программы. [40]
Было показано, что эпиморфизму 8: 3D - 3) отвечает мономорфизм 6: - - Можно было ожидать, что подобное верно и для реляционных алгебр. Нужно, однако, отметить, что реляционные алгебры связываются не с произвольными алгебрами Халмоша, а с алгебрами с равенством. С другой стороны, и это важно подчеркнуть, мономорфизм: х -) с равенствами не согласован. [41]
Почти одновременно, год или два назад, появились две работы: работа Литтельмана и работа Саши Постникова и моего аспиранта Олега Глейзера, которые как бы дополняли друг друга. Литтельман вычислил конус d для всех алгебр Ли, рассматривая каждую серию отдельно, но для очень специального выбора приведенных разложений, в то время как Глейзер и Постников вычислили его только для типа Л, но для произвольного приведенного разложения. После этого мы с Аркадием сообразили, что этот ответ имеет смысл для произвольной алгебры Ли и для произвольного приведенного разложения. [42]
Разрешимые, нильпотентные и абелевы подалгебры. Среди разрешимых подалгебр алгебр Ли особый интерес представляют подалгебры максимальной размерности. Чеботарев [38] в регулярном случае, а затем М о р о з о в [7] в общем случае доказали, что все максимальные разрешимые подалгебры произвольной алгебры Ли сопряжены между собой. [43]
В приложениях часто бывает важно, чтобы в схеме языка исчисления предикатов присутствовал знак равенства. Предикат равенства можно вводить в систему символов отношений Ф и одновременно в аксиомы исчисления предикатов добавляются аксиомы равенства. Равенство можно определить и для произвольных алгебр Халмоша, и делается это следующим образом. [44]
Алгебры Мальцева и другие обобщения алгебр Ли. Существенные успехи достигнуты в теории алгебр Мальцева, представляющих собой весьма естественное обобщение алгебры Ли. Некоторые результаты теории алгебр Ли переносятся на алгебры Мальцева и - в бесконечномерном случае. В классе алгебр Мальцева, удовлетворяющих я-му условию Эн-геля, корректно определен локально нильпотентный радикал. В [85] доказано, что если А - произвольная алгебра Мальцева характеристики 2, то сумма локально конечных идеалов А является локально конечным идеалом, а сумма локально нильпотентных идеалов - локально нильпотентным идеалом. [45]