Cтраница 4
Предыдущий раздел показывает, что f постоянна на точках, скажем f ( x, х) а. Из следствия 8 1 тогда следует, что R ( P, -) - полная алгебра биномиального типа. [46]
Тогда G конечна ( так как Р должна быть локально конечна, а каждая бесконечная группа имеет бесконечно много подгрупп) и каждая силовская подгруппа группы G является либо циклической, либо элементарной абелевой. Обратно, каждая такая группа G порождает такую алгебру Дирихле, которая в действительности является полной алгеброй типа Дирихле, дзета-функция которой имеет произведение Эйлера. [47]
Имеется, a priori восемь видов алгебр типа Дирихле, которые получаются, если уточнить, какие из свойств А, Б, В справедливы и какие нет. Легко построить примеры семи из этих видов; в следующем разделе мы увидим, что каждая полная алгебра биномиального типа коммутативна. [48]
Это замечание играет для нас роль и в бесконечномерном случае тоже. Допустим, что у нас есть какой-то очень сложный тензор Пуассона / на бесконечномерном многообразии, но мы заметили, что коэффициенты этого тензора являются линейными функциями от координат. Тогда мы знаем, что за этим лежит какая-то алгебра Ли, гораздо меньшая, чем полная алгебра Пуассона всех функционалов. [49]
Среди всех булевых алгебр наиболее важны для приложений те, которые обладают мерой. Такие алгебры, как уже упоминалось в главе I, называются нормированными; таковы, в частности, алгебры событий, изучаемые в классической теории вероятностей. Нормированным алгебрам в основном и посвящена настоящая глава; кроме того, здесь мы изучим родственный класс алгебр, удовлетворяющих введенному Л. В. Канторовичем условию регулярности. В этой главе рассматриваются только полные алгебры. [50]