Cтраница 3
Поставим в соответствие элементу х точную верхнюю грань х множества Л сО, соответствующего множеству А. [31]
Ограниченное множество действительных чисел имеет точную верхнюю грань и точную нижнюю грань. [32]
Тогда каждое ограниченное множество имеет точную верхнюю грань. [33]
Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью, наибольшая из нижних граней - точной нижней гранью. Следующая теорема устанавливает некоторые свойства функций, непрерывных в точке. [34]
К cz N, причем эта точная верхняя грань конечна. Остальные свойства метрики Z), которые нужно проверить, чтобы показать, что это действительно полная метрика, совсем очевидны. [35]
Плоская фигура называется квадрируемой, если точная верхняя грань Р множества площадей всех вписанных многоугольных фигур равна точной нижней грани Р множества площадей всех описанных многоугольных фигур. [36]
Определение Тело называется кубируемым, если точная верхняя грань У множества объемов всех вписанных многогранников равна точной нижней грани V множества объемов всех описанных многогранников. [37]
Плоская фигура называется квадрируемой, если точная верхняя грань Р множества площадей всех вписанных многоугольных фигур равна точной нижней грани Р множества площадей всех описанных многоугольных фигур. [38]
В следующем параграфе будет доказано существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества, так же как точной нижней грани у ограниченного снизу множества. [39]
При построении теории вещественных чисел существование точной верхней грани для каждого ограниченного сверху подмножества множества вещественных чисел принимается в качестве аксиомы полноты множества вещественных чисел. [40]
Мы остановимся лишь на доказательстве существования точной верхней грани у любого ограниченного сверху множества, ибо существование точной нижней грани у любого ограниченного снизу множества доказывается совершенно аналогично. [41]
Заметим, что диаметр множества равен точной верхней грани расстояний между точками этого множества. [42]
Событие Л U В играет роль точной верхней грани событий Л и В. [43]
Тогда в силу теоремы оно имеет точную верхнюю грань. Но тогда х 1с, и так как х leX, то это означает, что с не является точной верхней гранью X. Таким образом, получено противоречие, которое доказывает, что данное множество не ограничено сверху. Аналогично доказывается, что множество X не ограничено снизу. Указание: то, что множество X не ограничено сверху, следует из доказанного в задаче 17 утверждения. [44]
Таким образом, множество Е представляет собой точную верхнюю грань семейства Еа - Существование такого множества Е означает, что булева алгебра измеримых множеств ( по модулю-множеств меры 0) полна. [45]