Cтраница 4
Для интегрируемой по Риману - Стильтьесу функции точная верхняя грань всех нижних сумм совпадает с точной нижней гранью всех верхних и совпадает с пределом любой последовательности интегральных сумм с диаметром разбиений, стремящимся к нулю. Все элементарные свойства интеграла Римана выполняются и для интеграла Римана - Стильтьеса. Интеграл по бесконечному промежутку определяется как предел интегралов по расширяющимся конечным промежуткам. [46]
Иначе говоря, г - - это точная верхняя грань таких t, что каждая геодезическая длины t является кратчайшей. Если t О взято столь малым, что любой замкнутый шар диаметра t умещается в одном из элементов Вр этого покрытия ( такое t существует по лемме Лебега, поскольку тождественное отображение М - М есть отображение метризованного компакта в пространство с фиксированным покрытием), то все геодезические длины t оказываются кратчайшими. [47]
Напомним, что диаметром риманова многообразия называется точная верхняя грань расстояний между его точками. [48]
Если V - конечномерное векторное пространство то точная верхняя грань A8 существует. [49]