Cтраница 2
Так как группа аффинных преобразований п группа изометрий евклидова пространства хорошо известны, то изучение 81 ( Ж) и 3 ( -) по существу сводится к случаю, когда М неприводимо. [16]
Обозначим через / ( Я) группу изометрий многообразия ( Я, h), а через d0: Я X X Я - - К его риманову функцию расстояния. [17]
Геометрии классифицируются по Клейну, своими группами локальных изометрий. В трехмерном пространстве существенно разных геометрий оказывается восемь, и ббльшая часть книги посвящена анализу этих восьми геометрий. [18]
Вычисления упрощаются, если построенное многообразие имеет достаточно богатую группу изометрий, в частности в случае однородных римановых многообразий, у которых группа изометрий транзитивна и тензор кривизны во всех точках устроен одинаково. С однородными римановыми многообразиями естественно связаны алгебраические объекты: группы и алгебры Ли с определенными свойствами, причем открывается возможность описывать геодезические и находить секционные кривизны в терминах скобки Ли. Это позволяет на основе алгебраических конструкций строить столь нужные геометрии примеры римановых многообразий с предписанными свойствами кривизны. [19]
Группа изометрий многообразия SL2 четырехмерна, как и группа изометрий многообразия Я2Х и сохраняет указанную структуру расслоения. [20]
Группа А ( р д г) определяется как группа изометрий 52, порожденная отражениями относительно сторон треугольника, a A ( p q r) - как ее подгруппа, сохраняющая ориентацию. Другие изоморфизмы строятся аналогично. Каждый из углов такого треугольника должен равняться 2л / 3, так как три таких угла составляют полный угол при каждой вершине. [21]
Теорема 2.21. Пусть в условиях теоремы 2.20 G - группа изометрий, действующая транзитивно на X. [22]
Так как векторное поле X порождено элементом X алгебры Ли группы изометрий, то поле X сохраняет ( с точностью до скалярного множителя) риманову метрику К. [23]
Как и в случае плоскости, легко проверяется, что группа линейных изометрий Iso ( Rn) евклидова пространства Rn может быть представлена как группа преобразований у Ах b, где матрица А принадлежит ортогональной группе О ( п), а вектор Ь задает сдвиг. [24]
Пространство-время Минковского М и рассмотренные в § 5 космологические модели допускают группы изометрий, представляющие значительный практический интерес. Правда, группа изометрий на произвольном пространстве-времени Ж - это просто тождественное преобразование, так что ее наличие не дает никакой существенной информации. Но группы симметрии имеют большое значение в физике; в частности, группа Пуанкаре, описывающая изометрий пространства М, играет важную роль в стандартных определениях энергии-импульса и момента импульса. Уже одно это может служить основанием для поисков обобщения концепции группы изометрий, пригодного в искривленных пространствах-временах с теми или иными отклонениями от регулярности. [25]
Если клейнова группа Г действует на dHn Rn - l как группа евклидовых изометрий, то М ( Г) имеет ровно один конец ег, который мы называем стандартным параболическим концом. [26]
Показать, что на М имеется такая риманова метрика, для которой G - группа изометрий. [27]
Как мы показали выше ( см. абзац, предшествующий лемме 1), если четырехмерная группа изометрий действует па трехмерном римановом многообразии, то это действие транзитивно. [28]
Пространственно однородное и изотропное гравитационное поле, порождаемое усредненным распределением материи во Вселенной, имеет 6-параметрическую группу изометрий. [29]
Дискретная группа G действует на f / G A ( G) разрывно, являясь там группой изометрий. Рассмотрев обычным образом пространство орбит группы G на Я0 Л ( 0), мы получим выпуклый гиперболический орбифолд ( ср. [30]