Cтраница 3
Доказать, что группа Out яДМ) внешних: автоморфизмов ni ( Mn) конечна и изоморфна группе изометрий мпогообразия Мп ( В. [31]
Теорема 1 показывает, что аддитивная структура векторного пространства V, снабженного расстоянием, однозначно определяется его группой изометрий, т.е. унитарной группой. [32]
Кобаяси [1] - первоначальное ее доказательство было ближе к данному Майерсом и Стинродом [1] доказательству ее аналога для группы изометрий римапова многообразия. [33]
Другими словами, доказать, что фундаментальная группа поверхности указанного вида может быть представлена как дискретная подгруппа в группе изометрий плоскости Лобачевского, действующая эффективно. [34]
Относительно инвариантной римановоп метрики на однородном пространстве SO ( n) / / Q rpynirft S0 ( n) действует как группа изометрий. [35]
В заключение этого параграфа я хотел бы кратко обсудить классификацию замкнутых многообразий, представимых как факторпространство пространства Е3 по свободному действию группы изометрий. Это и есть в точности замкнутые плоские трехмерные многообразия. Как мы только что видели, любое такое многообразие М представимо в виде слоения Зейферта, и я рассмотрю классификацию с этой точки зрения. [36]
Вычисления упрощаются, если построенное многообразие имеет достаточно богатую группу изометрий, в частности в случае однородных римановых многообразий, у которых группа изометрий транзитивна и тензор кривизны во всех точках устроен одинаково. С однородными римановыми многообразиями естественно связаны алгебраические объекты: группы и алгебры Ли с определенными свойствами, причем открывается возможность описывать геодезические и находить секционные кривизны в терминах скобки Ли. Это позволяет на основе алгебраических конструкций строить столь нужные геометрии примеры римановых многообразий с предписанными свойствами кривизны. [37]
Пусть Г с: Mob ( п) - фуксова группа первого рода ( конечно порожденная), действующая в полупространстве К как группа гиперболических изометрий. [38]
Громова [4] к теории малых сокращений выделяет новый класс групп ( гиперболические группы, которые, в частности, могут рассматриваться и как группы изометрий пространств переменной отрицательной кривизны с компактными факторпространствами), имеющий большие перспективы в решении проблем тождества, сопряженности и изоморфизма групп. [39]
Очевидно, элементы Zm переводят каждый элемент сшебя в себя, a T % Zm действует в слое Ит) - 1 ст) как группа изометрий. Легко видеть, что для близких ст эти действия сопряжены. [40]
В случае симметрических пространств ранга 1 метрика dx задается явно. Группа изометрий действует транзитивно на каждой сфере и, следовательно, на каждой орисфере. Орисфера может рассматриваться как орбита некоторой нильпотентной подгруппы Ли изометрий, т.е. Rm 1 в действительном случае и группы Гейзен берга в комплексном случае. Расстояние doo - это евклидово расстояние в первом случае. [41]
Пространство-время Минковского М и рассмотренные в § 5 космологические модели допускают группы изометрий, представляющие значительный практический интерес. Правда, группа изометрий на произвольном пространстве-времени Ж - это просто тождественное преобразование, так что ее наличие не дает никакой существенной информации. Но группы симметрии имеют большое значение в физике; в частности, группа Пуанкаре, описывающая изометрий пространства М, играет важную роль в стандартных определениях энергии-импульса и момента импульса. Уже одно это может служить основанием для поисков обобщения концепции группы изометрий, пригодного в искривленных пространствах-временах с теми или иными отклонениями от регулярности. [42]
Каждое симметрическое пространство является однородным римановым многообразием и тем самым - однородным пространством. Действительно, легко проверить, что его группа изометрий транзитивна. Пусть р, q Е М; соединим р с q геодезической, и пусть г - ее срединная точка. [43]
Нп ( полусфера мнимого радиуса), группой изометрий которого является подгруппа О ( fd, R) индекса два в группе O ( fd, R) cGL ( n - - l, R), состоящая из линейных преобразований пространства Rn 1, сохраняющих квадратичную форму fd и отображающих на себя верхнюю полу гиперболоида. [44]
Группой симметрии пространства Минковского является группа Пуанкаре. Таким образом, размерность группы Пуанкаре равна 10 - это максимальная возможная размерность группы изометрий четырехмерного лоренцева много обраэия. Группа конформных преобразований пятнадцатимерна и содержит еще гомотетии и инверсии. Бе иногда называют конформной группой Пуанкаре. [45]