Cтраница 4
Напомним данное во введении определение: многообразие Мп обладает геометрической структурой, если на нем существует полная локально-однородная метрика. Это означает, по теореме Зингера [63], что универсальное накрывающее пространство X многообразия М обладает полной однородной метрикой, такой что группа изометрий многообразия X действует на нем транзитивно. [46]
Обычные космологические модели большого взрыва строятся на пространствах Робертсона - Уокера. Пространственно-временные многообразия такого типа расслаиваются на специальное множество пространственноподобных гиперповерхностей так, что каждая гиперповерхность соответствует одному моменту времени. Группа изометрий / ( / И) пространства-времени Робертсона - Уокера ( М, g) на этих гиперповерхностях постоянного времени действует транзитивно. Поэтому вселенные Робертсона - Уокера пространственно однородны. Более того, они пространственно изотропны в том смысле, что для каждой точки р М подгруппа группы изометрий / ( М), сохраняющая р, транзитивна на направлениях из р, касательных к проходящей через р гиперповерхности постоянного времени. При рассмотрении пространств Робертсона - Уокера мы будем использовать лоренцевы искривленные произведения М0 Xf H, описанные в разд. Космологические допущения на вселенные Робертсона - Уокера означают, что ( Я, h) - изотропное риманово многообразие. Следовательно, классификация двухточечных однородных римановых многообразий дает и классификацию всех пространств Робертсона - Уокера. [47]
Построить группу G изометрий Е2, действующую свободно и дискретно, можно, взяв в качестве образующих сдвиг, или скользящую симметрию, или два сдвига, или две скользящие симметрии в различных направлениях. Действительно, всякий поворот и всякое отражение в Е2 имеют неподвижную точку. Отсюда следует, что если группа G изометрий Е2 действует на Е2 свободно и эффективно, то каждый элемент G есть сдвиг или скользящая симметрия. [48]
Определим 2 ( г. с) аналогичным образом. Тогда, поскольку все наши определения эквивариантны, ( i) выполнено. Кроме того, 5 действует как группа изометрий. [49]
И наконец, мне следует упомянуть еще об одном геометрическом подходе. На протяжении всей книги я рассматривал лишь римановы многообразия, но можно рассматривать и псевдоримановы многообразия, в которых ограниченная на касательное пространство в данной точке квадратичная форма не обязана быть положительно-определенной. Всякое полное псевдориманово трехмерное многообразие постоянной кривизны является факторпространством трехмерного пространства Лоренца по действию некоторой группы изометрий. [50]