Cтраница 3
Простые дивизоры 3, делящие 2), могут быть также охарактеризованы следующим свойством: порядок образующего автоморфизма группы инерции дивизора ф в К в / раз меньше, чем порядок любого элемента группы Галуа K ( yjt) / k, индуцирующего этот автоморфизм. При этом мы говорим об образующей группы инерции ф в K / k, так как эта группа циклическая, что следует из того, что ( /, J) 1 ввиду условия 1 в определении шольцева поля. [31]
Y afx i и так как / не имеет кратных корней, то автоморфизм а также тождественный. Следовательно, наше отображение инъективно, а группа инерции тривиальна. [32]
Y orxri и так как / не имеет кратных корней, то автоморфизм а также тождественный. Следовательно, наше отображение инъективно, а группа инерции тривиальна. [33]
Еще один способ понижения размерности может оказаться полезным при наличии дополнительной информации о группе инерции. Так, если уже каким-либо образом получены некоторые ограничения на вид преобразований из группы инерции, например, установлено, что группа приводима, то можно свести задачу описания группы инерции функции от п переменных к нескольким аналогичным задачам меньшей размерности. Следующие теоремы позволяют осуществлять такое сведение, если известно, что в матрицах линейных преобразований из группы инерции имеется единичная строка или единичный столбец. [34]
Весьма многочисленный вид составляют методы, основанные на вычислении и сравнении значений инвариантов для действия группы инерции G / на множестве векторов пространства Vn или на двойственном к нему пространстве линейных функций на Vn. После вычисления значений инвариантов и нахождения разбиения этого пространства, инвариантного относительно действия группы инерции, определяются запрещенные переходы векторов из разных классов этого разбиения друг в друга. Это позволяет получить ограничения на вид преобразований из группы инерции. В заключение, для каждого преобразования из этого множества производится проверка на принадлежность группе инерции. [35]
Нетрудно видеть, что каждому линейному преобразованию из группы инерции однозначно соответствует некоторая подстановка на множестве вершин этого графа, являющаяся его автоморфизмом. Перебирая все эти подстановки, убеждаемся, что соответствующие им преобразования лежат в группе инерции. [36]
Эта теорема должна накладывать известные ограничения на абсолютную группу Галуа поля классов. В самом деле, если К есть абсолютно нормальное, относительно абелево и неразветвленное поле над k, то группы инерции полей k и К изоморфны, а вместе с тем их композиты воспроизводят группу Галуа полей k и К. Из этого, например, сразу вытекает, что группа Галуа поля К не может быть циклической. [37]
Если теперь в явном виде описать строение образов и ядер этих гомоморфизмов, то в некоторых случаях можно точно вычислить порядок группы инерции. [38]
Еще один способ понижения размерности может оказаться полезным при наличии дополнительной информации о группе инерции. Так, если уже каким-либо образом получены некоторые ограничения на вид преобразований из группы инерции, например, установлено, что группа приводима, то можно свести задачу описания группы инерции функции от п переменных к нескольким аналогичным задачам меньшей размерности. Следующие теоремы позволяют осуществлять такое сведение, если известно, что в матрицах линейных преобразований из группы инерции имеется единичная строка или единичный столбец. [39]
Если список представителей не удается получить из общих соображений, то их поиск можно осуществить с помощью какой-либо процедуры последовательного перебора функций с проверкой их ( не) эквивалентности друг другу до тех пор, пока не будет найдено необходимое число представителей, равное числу классов эквивалентности. Поскольку сразу определить с помощью теории перечисления точное число классов эквивалентности, как это сделано, например, в работе [2], можно далеко не всегда, как правило, приходится одновременно вычислять порядки их групп инерции для подсчета мощностей классов эквивалентности. [40]
Весьма многочисленный вид составляют методы, основанные на вычислении и сравнении значений инвариантов для действия группы инерции G / на множестве векторов пространства Vn или на двойственном к нему пространстве линейных функций на Vn. После вычисления значений инвариантов и нахождения разбиения этого пространства, инвариантного относительно действия группы инерции, определяются запрещенные переходы векторов из разных классов этого разбиения друг в друга. Это позволяет получить ограничения на вид преобразований из группы инерции. В заключение, для каждого преобразования из этого множества производится проверка на принадлежность группе инерции. [41]
Еще один способ понижения размерности может оказаться полезным при наличии дополнительной информации о группе инерции. Так, если уже каким-либо образом получены некоторые ограничения на вид преобразований из группы инерции, например, установлено, что группа приводима, то можно свести задачу описания группы инерции функции от п переменных к нескольким аналогичным задачам меньшей размерности. Следующие теоремы позволяют осуществлять такое сведение, если известно, что в матрицах линейных преобразований из группы инерции имеется единичная строка или единичный столбец. [42]
Согласно этой теореме объединение групп инерции всех критических простых идеалов нормального расширения поля рациональных чисел есть группа Галуа. [43]
Весьма многочисленный вид составляют методы, основанные на вычислении и сравнении значений инвариантов для действия группы инерции G / на множестве векторов пространства Vn или на двойственном к нему пространстве линейных функций на Vn. После вычисления значений инвариантов и нахождения разбиения этого пространства, инвариантного относительно действия группы инерции, определяются запрещенные переходы векторов из разных классов этого разбиения друг в друга. Это позволяет получить ограничения на вид преобразований из группы инерции. В заключение, для каждого преобразования из этого множества производится проверка на принадлежность группе инерции. [44]
Гильберта интересовало главным образом то, как группа Галуа Г поля К / к связана с разложением простых идеалов поля к в К. Пусть ф - простой идеал в К относительной степени /; подстановки s группы Г, для которых яф ф, образуют группу разложения. Как всегда в теории Галуа, этой группе соответствует некоторое подполе поля К / к ( поле разложения); число из поля К принадлежит полю разложения тогда, когда оно инвариантно относительно всех подстановок из группы разложения. Подстановки t, переводящие любое целое число А из К в число tA, сравнимое с А по модулю ф образуют инвариантную подгруппу группы разложения индекса /, называемую группой инерции; соответствующее поле ( поле инерции) оказывается зажатым между полем разложений и полем К. Относительно последнего утверждения я замечу следующее. Если ф переходит к р только в первой степени, т.е. если е - 1 ( а так будет непременно, если р не делит относительный дискриминант поля К / к), то группа инерции состоит только из тождественной подстановки. [45]