Cтраница 4
Под классификацией функций в данной работе понимается классификация относительно групп преобразований, действующих на множестве функций. Задача перечисления обычно решается с помощью теории перечисления Пойа и не требует нахождения самих представителей. Задача классификации функций имеет конструктивный характер и является более комплексной, а поэтому сложной. Если классификацию не удается получить из теоретических соображений, как это имеет место в случае квадратичных форм, то фактически единственным способом ее получения является поиск неэквивалентных функций с вычислением мощностей классов до тех пор, пока суммарная мощность найденных классов не совпадет с числом всех функций. Такой подход требует решения нескольких подзадач, каждая из которых в общем случае не имеет универсальных способов решения. Такими задачами являются: проверка эквивалентности функций, поиск функций, не эквивалентных функциям из заданного набора, нахождение инвариантов, вычисление порядков групп инерции и др. Для поиска неэквивалентных функций проще всего использовать системы инвариантов действия группы на множестве функций, однако для получения исчерпывающего решения надо уметь находить полные системы инвариантов, значения которых однозначно определяют класс эквивалентности. В случае использования неполных систем инвариантов задача поиска неэквивалентных функций существенно усложняется. Наибольшую трудность представляет задача определения порядков групп инерции, так как переборные методы в данном случае практически не работают, а эвристические методы дают результаты только для несимметричных ( относительно линейной группы) функций, позволяя уменьшать перебор путем сведения исходной задачи к изучению приводимых групп. Если же функция симметрична, то в качестве групп инерции могут выступать неприводимые линейные группы. При этом в настоящее время не существует никаких способов, позволяющих определить, какая из неприводимых групп является группой инерции. [46]
Гильберта интересовало главным образом то, как группа Галуа Г поля К / к связана с разложением простых идеалов поля к в К. Пусть ф - простой идеал в К относительной степени /; подстановки s группы Г, для которых яф ф, образуют группу разложения. Как всегда в теории Галуа, этой группе соответствует некоторое подполе поля К / к ( поле разложения); число из поля К принадлежит полю разложения тогда, когда оно инвариантно относительно всех подстановок из группы разложения. Подстановки t, переводящие любое целое число А из К в число tA, сравнимое с А по модулю ф образуют инвариантную подгруппу группы разложения индекса /, называемую группой инерции; соответствующее поле ( поле инерции) оказывается зажатым между полем разложений и полем К. Относительно последнего утверждения я замечу следующее. Если ф переходит к р только в первой степени, т.е. если е - 1 ( а так будет непременно, если р не делит относительный дискриминант поля К / к), то группа инерции состоит только из тождественной подстановки. [47]
Под классификацией функций в данной работе понимается классификация относительно групп преобразований, действующих на множестве функций. Задача перечисления обычно решается с помощью теории перечисления Пойа и не требует нахождения самих представителей. Задача классификации функций имеет конструктивный характер и является более комплексной, а поэтому сложной. Если классификацию не удается получить из теоретических соображений, как это имеет место в случае квадратичных форм, то фактически единственным способом ее получения является поиск неэквивалентных функций с вычислением мощностей классов до тех пор, пока суммарная мощность найденных классов не совпадет с числом всех функций. Такой подход требует решения нескольких подзадач, каждая из которых в общем случае не имеет универсальных способов решения. Такими задачами являются: проверка эквивалентности функций, поиск функций, не эквивалентных функциям из заданного набора, нахождение инвариантов, вычисление порядков групп инерции и др. Для поиска неэквивалентных функций проще всего использовать системы инвариантов действия группы на множестве функций, однако для получения исчерпывающего решения надо уметь находить полные системы инвариантов, значения которых однозначно определяют класс эквивалентности. В случае использования неполных систем инвариантов задача поиска неэквивалентных функций существенно усложняется. Наибольшую трудность представляет задача определения порядков групп инерции, так как переборные методы в данном случае практически не работают, а эвристические методы дают результаты только для несимметричных ( относительно линейной группы) функций, позволяя уменьшать перебор путем сведения исходной задачи к изучению приводимых групп. Если же функция симметрична, то в качестве групп инерции могут выступать неприводимые линейные группы. При этом в настоящее время не существует никаких способов, позволяющих определить, какая из неприводимых групп является группой инерции. [48]
Под классификацией функций в данной работе понимается классификация относительно групп преобразований, действующих на множестве функций. Задача перечисления обычно решается с помощью теории перечисления Пойа и не требует нахождения самих представителей. Задача классификации функций имеет конструктивный характер и является более комплексной, а поэтому сложной. Если классификацию не удается получить из теоретических соображений, как это имеет место в случае квадратичных форм, то фактически единственным способом ее получения является поиск неэквивалентных функций с вычислением мощностей классов до тех пор, пока суммарная мощность найденных классов не совпадет с числом всех функций. Такой подход требует решения нескольких подзадач, каждая из которых в общем случае не имеет универсальных способов решения. Такими задачами являются: проверка эквивалентности функций, поиск функций, не эквивалентных функциям из заданного набора, нахождение инвариантов, вычисление порядков групп инерции и др. Для поиска неэквивалентных функций проще всего использовать системы инвариантов действия группы на множестве функций, однако для получения исчерпывающего решения надо уметь находить полные системы инвариантов, значения которых однозначно определяют класс эквивалентности. В случае использования неполных систем инвариантов задача поиска неэквивалентных функций существенно усложняется. Наибольшую трудность представляет задача определения порядков групп инерции, так как переборные методы в данном случае практически не работают, а эвристические методы дают результаты только для несимметричных ( относительно линейной группы) функций, позволяя уменьшать перебор путем сведения исходной задачи к изучению приводимых групп. Если же функция симметрична, то в качестве групп инерции могут выступать неприводимые линейные группы. При этом в настоящее время не существует никаких способов, позволяющих определить, какая из неприводимых групп является группой инерции. [49]
Под классификацией функций в данной работе понимается классификация относительно групп преобразований, действующих на множестве функций. Задача перечисления обычно решается с помощью теории перечисления Пойа и не требует нахождения самих представителей. Задача классификации функций имеет конструктивный характер и является более комплексной, а поэтому сложной. Если классификацию не удается получить из теоретических соображений, как это имеет место в случае квадратичных форм, то фактически единственным способом ее получения является поиск неэквивалентных функций с вычислением мощностей классов до тех пор, пока суммарная мощность найденных классов не совпадет с числом всех функций. Такой подход требует решения нескольких подзадач, каждая из которых в общем случае не имеет универсальных способов решения. Такими задачами являются: проверка эквивалентности функций, поиск функций, не эквивалентных функциям из заданного набора, нахождение инвариантов, вычисление порядков групп инерции и др. Для поиска неэквивалентных функций проще всего использовать системы инвариантов действия группы на множестве функций, однако для получения исчерпывающего решения надо уметь находить полные системы инвариантов, значения которых однозначно определяют класс эквивалентности. В случае использования неполных систем инвариантов задача поиска неэквивалентных функций существенно усложняется. Наибольшую трудность представляет задача определения порядков групп инерции, так как переборные методы в данном случае практически не работают, а эвристические методы дают результаты только для несимметричных ( относительно линейной группы) функций, позволяя уменьшать перебор путем сведения исходной задачи к изучению приводимых групп. Если же функция симметрична, то в качестве групп инерции могут выступать неприводимые линейные группы. При этом в настоящее время не существует никаких способов, позволяющих определить, какая из неприводимых групп является группой инерции. [50]