Cтраница 4
Собственно, изложенные выше факты были одной из мотивировок введения групп когомологий абстрактной группы. [46]
Подчеркнем, что Н 1 ( М, U) - группа когомологии Александера - Спеньера, определенная посредством всех коцепей, и что гомоморфизм, обозначаемый стрелкой с номером 1, имеет сложное определение: он является композицией четырех других изоморфизмов. [47]
Геометрическое понятие размерности может быть перенесено в алгебраическую ситуацию благодаря использованию групп когомологий Хохшильда. Из топологии хорошо известно, что последовательность групп когомологий n - мерного многообразия обращается в нуль в размерностях, превышающих п, в то время как Нп ф 0 для подходящим образом подобранной области коэффициентов. Сходство в определениях и свойствах когомологий Хохшильда и топологических когомологий наводят на мысль, что аналогичное понятие размерности может оказаться плодотворным инвариантом для алгебр. Эта идея и составляет тему настоящего и двух последующих параграфов. [48]
Здесь двойственные утверждения формулируются особенно просто: нужно лишь заменить каждую группу когомологий на соответствующую группу гомологии и обратить направления всех стрелок. Точные определения и доказательства оставляются читателю. [49]