Cтраница 4
Групповое пространство группы вращений конечно, а групповое пространство группы Лоренца бесконечно, так что группа Лоренца некомпактна. Кроме того, справедлива теорема о том, что унитарные представления некомпактных групп бесконечномерны. То, что мы видели выше, является отрицательным примером, иллюстрирующим эту теорему: конечномерное и неунитарное представление группы Лоренца. В действительности Вигнер уже много лет назад указал на то, что фундаментальной группой для физики частиц является не ( однородная) группа Лоренца, рассмотренная выше, а неоднородная группа Лоренца, которую обычно называют группой Пуанкаре. Она состоит из лоренцевых бустов и вращений, а также трансляций в пространстве и во времени. Анализ этой группы приводит к правильному пониманию природы спина, а также неожиданным образом углубляет наше представление о ней. Ниже мы рассмотрим группу Пуанкаре более подробно. [46]
Мы вновь видим, что бусты не образуют подгруппу группы Лоренца, тогда как вращения образуют подгруппу. [47]
Покажем, что эти выражения преобразуются по тензорным представлениям группы Лоренца. [48]
Группа &1 - 10-параметрическая; к шести генераторам Afm группы Лоренца добавляются четыре генератора РЦ трансляций. [49]
В пространстве Минковского также есть определенный произвол при выделении группы Лоренца из группы Пуанкаре, но там она определена с точностью до трансляций, отвечающих за выбор в пространстве центра - неподвижной точки, вокруг которой осуществляются повороты. Для асимптотически-плоского пространства-времени, как следует из вышеприведенного анализа, имеется не трансляционный, а супертрансляционный произвол. Соответственно возникает бесконечный набор групп Лоренца, в то время как в плоском пространстве-времени имеется 4-параметрическое семейство групп Лоренца. [50]