Cтраница 3
Обратно, для любого набора из и ненулевых комплексных чисел существует однородное уравнение класса & - n - i Для к - торого числа набора порождают группу монодромии на бесконечности. На при п 2 множество полной меры в С состоит из наборов, порождающих группы монодромии с плотными в С орбитами. Родственный факт: множество полной меры в пространстве сдвигов двумерного тора состоит из сдвигов с плотными орбитами. [31]
А из неразрешимости группы монодромии уравнения пятой степени топологически выводится несуществование формулы, выражающей его корни через радикалы. Дело в том, что группа монодромии, измеряющая многозначность каждого радикала, коммутативна, а группа монодромии комбинации радикалов составляется из их групп монодромии так же, как разрешимая группа составляется из коммутативных. [32]
А из неразрешимости группы монодромии уравнения пятой степени топологически выводится несуществование формулы, выражающей его корни через радикалы. Дело в том, что группа монодромии, измеряющая многозначность каждого радикала, коммутативна, а группа монодромии комбинации радикалов составляется из их групп монодромии так же, как разрешимая группа составляется из коммутативных. [33]
В качестве замечания добавлю, что, по-видимому, связность, сохраняющая собственные направления при движении собственных чисел, никак не может быть симплектической ( иметь симплектическую монодромию), и вот почему. Симплектическая структура fi ( [ Aoi ], [ AJ2 ]) A [ а 1 а 2 ] ПРИ входящем в нашу группу монодромии связности отображении Галуа А - Ak переходит в Ak [ a. [34]
Фазовые кривые вещественного векторного поля либо состоят из одной точки, либо гомеоморфны прямой или окружности; поэтому группа моподромии для вещественных дифференциальных уравнении лиГо тривиальная, либо циклическая. Напротив, уже для дифференциальных; уравнений, заданных на открытом подмножество комплексной плоскости, решения - слои могут иметь очень богатую фундаментальную группу; группа монодромии таких слоев может быть очень сложной. Ото обусловливает запутанность решений, близких к слою с богатой фундаментальной группой, что составляет резкое отличие комплексного случая от вещественного. [35]
К ( Q, 1) j H ( Т)) t потому что при доказательстве этого утверждения использовалась односвязность базы Но вспомним, что при этом решающую роль играла не односвязность базы, а такое свойство расслоения: любые два пути, соединяющие любые две точки базы ос, , индуцируют гомотопные отображения, - j ф itea4e: любой замкнутый путь базы с началом и концом в точке х индуцирует отображение о5с - JCt - гомотопное тождественному. В нашем случае это последнее обеспечивается простотой X: действие фундаментальной группы К ( Q - t / J на слое Т нашего расслоения совпадает ( с точностью до го-мотопии) с действием - / - ( 5 на 7 - - как группы монодромий; последнее определяет на ЗГ. X) - / / V, то есть тождественные автоморфизмы. [36]
В этом случае ответ следующий. Если размерность п произвольна, но степень d равна 2, то по-прежнему сила притяжения ( а также и ее потенциал) будет алгебраической и вне области гиперболичности. Группа монодромии в этом случае - достаточно сложная группа, порожденная отражениями. [37]
Для уравнения а класса т п бесконечно удаленная проективная прямая с выколотыми особыми точками является решением; это решение обозначается Fa и называется бесконечно удаленным. Фундаментальная группа этого решения - свободная с п образующими. Группа монодромии уравнения над бесконечно удаленным решением называется группой монодромии уравнения на бесконечности; сложность этой группы обусловливает формулируемые ниже теоремы. [38]
Верно ли, что регулярные особенности - изомонодромные пределы фуксовых. Какие матрицы группы монодромии стремятся к матрицам Стокса при нерегулярном вырождении. [39]
Пусть росток голоморфной вектор-функции ср голоморфно продолжается на универсальную накрывающую над сферой Римана с выколотыми точками аь... Вронского продолженной вектор-функции ( обозначаемой также ср) нигде не обращается в нуль. Пусть росток ср задает группу монодромии: при продолжении над. Римана, линейное пространство, порожденное компонентами ростка, испытывает линейный автоморфизм. Пусть это продолжение регулярно: когда t стремится к выколотой точке а, оставаясь внутри некоторого сектора с вершиной а, модуль p ( t) растет не быстрее некоторой степени расстояния до а на сфере Римана. Тогда существует уравнение класса Фукса, для которого р - росток фундаментальной системы решений. [40]
Тогда а - подстановка корней этого многочлена; группу подстановок корней многочлена естественно называть группой Галуа. В таком случае естествен термин группа монодромии. [41]
При продолжении над петлей, обходящей полюса коэффициентов, это пространство переходит в себя и испытывает дробно-линейное преобразование. Группа всех так построенных преобразований называется группой монодромии уравнения Риккати. [42]
Для уравнения а класса т п бесконечно удаленная проективная прямая с выколотыми особыми точками является решением; это решение обозначается Fa и называется бесконечно удаленным. Фундаментальная группа этого решения - свободная с п образующими. Группа монодромии уравнения над бесконечно удаленным решением называется группой монодромии уравнения на бесконечности; сложность этой группы обусловливает формулируемые ниже теоремы. [43]
Циклы, которые строятся при доказательстве этой теоремы, имеют представителей, накапливающихся к бесконечно удаленному решению. Каждому из них отвечает неподвижная точка преобразования монодромии, которое соответствует довольно сложной петле на бесконечно удаленном решении. Найти такие преобразования монодромии удается благодаря тому, что группа монодромии на бесконечности для типичного уравнения некоммутативна. [44]
При продолжении решений над петлей, не проходящей через полюса коэффициентов, пространство ростков решений в начальной точке петли переходит в себя. Этот автоморфизм линеен и называется преобразованием монодромии. Последовательному обходу петель соответствует произведение преобразований монодромии. Этот гомоморфизм называется монодромией уравнения или системы; оператор, соответствующий петле - у. Образ гомоморфизма называют группой монодромии. [45]