Cтраница 4
Дзимбо, заключается в следующем. Операторы, осуществляющие вращение в соответствующем ортогональном пространстве, образуют группу Клиффорда. Отметим, что это вращение есть не что иное, как линейное каноническое преобразование, называемое преобразованием Боголюбова. Оказывается, искомые матрицы Аг связаны со средними по алгебре от операторов вращения. Если варьировать положение точек а, сохраняя группу монодромии уравнения неизменной, то матрицы Av как функции а должны подчиняться некоторым нелинейным уравнениям, так называемым уравнениям деформации Шлезингера. Следовательно, средние от операторов вращения также должны подчиняться некоторым уравнениям деформации. Этот метод проливает свет на алгебраические структуры, скрытые в аналитической теории дифференциальных уравнений. [46]
Многие специальные функции математической физики и прочих прикладных наук задаются интегральными представлениями по одной и той же схеме. Имеется гладкое локально тривиальное расслоение Е - Т, и на пространстве этого расслоения имеется дифференциальная форма ш, которая замкнута вдоль слоев, но не замкнута на всем пространстве. Кроме того, задана отмеченная точка bo Е Т и в слое над этой точкой фиксирован класс гомологии той же размерности, что и форма. Тогда на базе возникает функция, которая строится следующим образом. Конечно, это перетаскивание строится неоднозначно, но классы гомологии полученных циклов определены однозначно. А следовательно и результат интегрирования зависит только от исходного класса гомологии, от способа перетаскивания он не зависит. Возникающая функция локально определена однозначно, но глобально она может ветвиться. Если фундаментальная группа базы нетривиальна, то, совершив обход вдоль нестягиваемого пути, можно прийти к другому классу гомологии. Это представление фундаментальной группы базы в гомологиях слоя называется монодромией, а его образ - группой монодромии нашего расслоения. Многие аналитические свойства возникающей функции ( однозначность, алгебраичность, количество листов, регулярность) сводятся к изучению группы монодромии. Многие конкретные вопросы, о которых я буду говорить, решаются в терминах этой группы. [47]
Многие специальные функции математической физики и прочих прикладных наук задаются интегральными представлениями по одной и той же схеме. Имеется гладкое локально тривиальное расслоение Е - Т, и на пространстве этого расслоения имеется дифференциальная форма ш, которая замкнута вдоль слоев, но не замкнута на всем пространстве. Кроме того, задана отмеченная точка bo Е Т и в слое над этой точкой фиксирован класс гомологии той же размерности, что и форма. Тогда на базе возникает функция, которая строится следующим образом. Конечно, это перетаскивание строится неоднозначно, но классы гомологии полученных циклов определены однозначно. А следовательно и результат интегрирования зависит только от исходного класса гомологии, от способа перетаскивания он не зависит. Возникающая функция локально определена однозначно, но глобально она может ветвиться. Если фундаментальная группа базы нетривиальна, то, совершив обход вдоль нестягиваемого пути, можно прийти к другому классу гомологии. Это представление фундаментальной группы базы в гомологиях слоя называется монодромией, а его образ - группой монодромии нашего расслоения. Многие аналитические свойства возникающей функции ( однозначность, алгебраичность, количество листов, регулярность) сводятся к изучению группы монодромии. Многие конкретные вопросы, о которых я буду говорить, решаются в терминах этой группы. [48]