Cтраница 4
Как уже упоминалось, трансляцию ta можно мыслить просто как вектор а, а группу трансляций - как группу векторов с векторным сложением в качестве группового действия. Мы будем часто пользоваться этой точкой зрения. [46]
Пространственная группа генерируется независимыми операторами сходственной точечной группы, компонентами трансляции действующих операторов и группой трансляций Бравэ. В соответствии с этим правильные системы точек общего положения, свойственные пространственной группе, получаются как правильные системы точек сходственной точечной группы, координаты которых почленно сложены с суммой компонентов трансляции этих операторов, а результат суммирован с группой Бравэ. При записи суммарных компонент трансляций, свойственных тем или иным операторам, необходимо учитывать, что выбор начала координат влияет на трансляционные компоненты. Только в группах, сохраняющих пучок закрытых элементов симметрии, пересекающихся в одной точке, которая выбрана за начало координат ( в так называемых симморфных группах), система точек определяется только природой оператора. [47]
Ранее было показано, что волновые функции локализованного возбуждения могут быть составлены в соответствии с представлениями группы трансляций, определяемыми одним из ряда разрешенных волновых векторов k, а в особых случаях также в соответствии с представлениями фактор-группы или одной из ее подгрупп. Общей чертой квантовомеханических систем является то, что функции, принадлежащие различным представлениям групп, не взаимодействуют, и, чтобы найти уровни энергии кристалла, можно ограничиться рассмотрением отдельно каждого значения k и, где это применимо, отдельно каждого представления группы волнового вектора. [48]
Так как щ - константа ( не зависит от /), то каждое неприводимое представление группы трансляций содержит Зт нормальных колебаний, как показано в табл. 8 для одномерного кристалла. [49]
Так как аг - константа ( не зависит от /), то каждое неприводимое представление группы трансляций содержит Зт нормальных колебаний, как показано в табл. 8 для одномерного кристалла. [50]
Поскольку решетка Браве была определена в § 1.3 как бесконечный набор периодически расположенных узлов, число элементов группы трансляций 7а, а следовательно, и пространственной группы бесконечно. В теории твердого тела, однако, кристалл предполагается конечным, причем с помощью введения так называемых циклических граничных условий ( они подробно обсуждаются в § 1.6) противоположные грани образца отождествляются. В этом случае пространственная группа Ф0 становится конечной - и для нее оказываются справедливы все результаты, полученные в теории конечных групп. [51]