Cтраница 2
Так как отличная от своего нормализатора компонента нормального расщепления нильпотентна, то лишь группы Фробениуса могут содержать ненильпотентную компоненту нормального расщепления. [16]
Если подгруппа F изолирована в группе G, то в этом случае G - группа Фробениуса, и, следовательно, она расщепляема. [17]
Так как она взаимно проста с ней сопряженными подгруппами, то подгруппа М является группой Фробениуса. [18]
Тогда если каждая подгруппа простого порядка из В нормальна в В, то С - группа Фробениуса с ядром А. [19]
Если А - группа регулярных автоморфизмов конечной группы 5, то голоморф пары ( 5, А) есть группа Фробениуса. [20]
Если же она совпадает со своим нормализатором и взаимно проста со своими сопряженными подгруппами, то группа G является группой Фробениуса и М - ее дополнительный множитель. Поэтому в дальнейшем будем считать, что рассматриваемая изолированная подгруппа совпадает со своим нормализатором и имеет неединичное пересечение хотя бы с одной сопряженной подгруппой. При доказательстве теоремы мы будем часто использовать следующее замечание. [21]
Так как в этом случае подгруппа R взаимно проста с сопряженными подгруппами и совпадает со своим нормализатором в подгруппе Ж, то М является группой Фробениуса. Покажем, что R не может быть примарной подгруппой. Ясно, что в этом случае минимальная изолированная подгруппа из NG ( D) / R, содержащаяся в NM ( D) / Rj является р-группой. Так как подгруппа R изолирована, то все силовские g - подгруппы ( q f р) из NG ( Щ либо циклические, либо обобщенные группы кватернионов. [22]
Из того, что подгруппа F c - J является холловской в G, следует, что подгруппа Н должна содержать элемент, индуцирую-ищи регулярный автоморфизм в инвариантном множителе группы Фробениуса М2, что невозможно, так как любой элемент из Н перестановочен с элементом сг. [23]
Пусть D М [ сГгМа, Если D нормализуется инволюцией из М, то в каждой 2-подгруппе из М есть не более одной инволюции, и из [15] получаем, что М и G - группы Фробениуса. Породим подгруппу Х всеми элементами, перестановочными либо трансформирующими d ( d DQ) в обратный. [24]
Группа М есть группа Фробениуса с неабе-левым ядром. [25]
Если г f 1, то 5хг не взаимно прост ни с А, ни с т, что противоречит условию. Это означает, что G - группа Фробениуса. [26]
Таким образом, доказано, что подгруппа D совпадает со своим нормализатором в М и взаимно проста со своими сопряженными. Это означает, что М - группа Фробениуса и D - ее дополнительный множитель. Из коммутативности подгруппы D и из того, что силовские подгруппы в D циклические, следует, что D - циклическая подгруппа. [27]
Пусть Н - не инвариантная, отличная от своего нормализатора, сильно изолированная подгруппа. Обозначим через t порядок дополнительного множителя группы Фробениуса N ( Н), а через т - индекс подгруппы N ( Н) в группе G. Группа G содержит точно гт инволюций. Так как подгруппа N ( Н) пересекается с сопряженными подгруппами по подгруппам, содержащимся в дополнительных множителях группы Фробениуса N ( Н), то каждый смежный класс группы G по N ( Н) содержит не более t инволюций. [28]
Значит, силовская 2-подгруппа Т группы М имеет нетривиальное пересечение хотя бы с одной из своих сопряженных подгрупп. Поэтому NM ( D2) / D2 - группа Фробениуса, силовская 2-подгруппа которой является дополнительным множителем. [29]
Группы, удовлетворяющие условиям этой теоремы, называют группами Фробениуса. Дальнейшие успехи теории расщепляемых групп связаны с изучением групп Фробениуса. [30]