Cтраница 4
Если же подгруппаNG ( R) имеет нечетный порядок, то ока разрешима. Из изолированности подгруппы Р0 в NG ( R) получаем, что в фактор-группе NG ( R) / R все силовские подгруппы - циклические и NG ( R) / R RX / R P0 / R - группа Фробениуса. Подгруппа R - X инвариантна и изолирована в нормализаторе подгруппы R. Поэтому R-X нильпотентна, что противоречит существованию в ней собственной изолированной подгруппы. [46]
Предположим, что А - р-группа. Так как элементы из F индуцируют в А регулярные автоморфизмы, то все силовские подгруппы из Ациклические и строение подгруппы F в этом случае хорошо известно. Если В fP, то из теоремы 5.9 П. Г. Конторовича и В. М. Бусаркина [6] следует, что в М имеется характеристический ряд 1 а В a BF а М, где BF - группа Фробениуса с инвариантным множителем В, а фактор-группа MIB - группа Фробениуса с инвариантным множителем BF / B. В силу этого в группе Фробениуса NM ( Р) имеется характеристический ряд 1 с: си В с: BF a NM ( P) с: NM ( P) с такими же свойствами. Отсюда следует существование в NM ( P) инвариантной подгруппы BF f П м ( P) j не содержащей Р и не содержащейся в ней, что невозможно. [47]
Предположим, что А - р-группа. Так как элементы из F индуцируют в А регулярные автоморфизмы, то все силовские подгруппы из Ациклические и строение подгруппы F в этом случае хорошо известно. Если В fP, то из теоремы 5.9 П. Г. Конторовича и В. М. Бусаркина [6] следует, что в М имеется характеристический ряд 1 а В a BF а М, где BF - группа Фробениуса с инвариантным множителем В, а фактор-группа MIB - группа Фробениуса с инвариантным множителем BF / B. В силу этого в группе Фробениуса NM ( Р) имеется характеристический ряд 1 с: си В с: BF a NM ( P) с: NM ( P) с такими же свойствами. Отсюда следует существование в NM ( P) инвариантной подгруппы BF f П м ( P) j не содержащей Р и не содержащейся в ней, что невозможно. [48]
Обозначим через Н подгруппу из G, содержащую С. Рассмотрим нормализатор силовской подгруппы Q порядка г в группе G. Так как NH ( Q) - группа Фробениуса, то NG ( Q), как разрешимая не-нильпотентная расщепляемая группа, является либо группой Фробениуса, либо ЯГ-группой. [49]
Тогда центр Z силовской р-подгруппы Р содержится в другой силовской подгруппе х-г Рх и не является центром последней. N ( D) не нильпотен-тен, не группа Фробениуса и не ДГ-группа. Это означает, что Р содержит нециклическую подгруппу порядка 4, совпадающую со своим централизатором. [50]