Cтраница 3
Если Н совпадает со своим нормализатором, то утверждение следует из предыдущей теоремы. Если Н инвариантна в G, то G - группа Фробениуса и Н - ее инвариантный множитель. [31]
S определяется теоремой Хигмэна ( таким образом, для заданного п группа S, если она неабелева, имеет один из четыре. Кроме того, Яг М, поскольку иначе BH0U - группа Фробениуса, откуда следует, что G является Z-группой, вопреки предположению. [32]
Обозначим через R подгруппу, образованную либо элементами группы G, либо перестановочными с элементами из JD, либо трансформирующими их в обратные. Значит, подгруппа NM ( Т) взаимно проста с сопряженными в М подгруппами и М - группа Фробениуса. [33]
Докажем, что подгруппа F b нильпотентна. Действительно, если F X W - не нильпотентная подгруппа, то F) b лежит в дополнительном множителе группы Фробениуса Мг. Значит, подгруппа F b нильпотентна. [34]
Предположим, что подгруппа NM ( Р) не инвариантна в NG ( Р) Пусть KIR - минимальная изолированная подгруппа в NM ( P) / Rj гДе R - наибольший изолированный нормальный делитель подгруппы NG ( Р), содержащийся в NM ( P) Подгруппа KIR совпадает со своим нормализатором, так как в противном случае подгруппа К оказалась бы нильпотентной и, в силу ее непримарности, плотной, что противоречит существованию в ней собственной изолированной подгруппы R. Так как подгруппа KIR взаимно проста с ней сопряженными подгруппами, то факторгруппа NG ( P) IR является группой Фробениуса. Обозначим ее инвариантный множитель через LIR. Так как подгруппа L инвариантна в NG ( Р), то она нильпотентна. [35]
Если М взаимно проста с сопряженными подгруппами, то, очевидно, G - группа первого типа. Если же подгруппа М не взаимно проста с сопряженными подгруппами, то по теореме 1 § 12 М является группой Фробениуса и ее инвариантный множитель имеет четный порядок. [36]
Так как фактор-подгруппа NM ( Щ / К изолирована в NG ( D) IK то она содержит минимальную изолированную подгруппу R / К. Если RIK совпадает со своим нормализатором в NG ( D) / K, то NG ( D) IK является группой Фробениуса. [37]
Если предложение не верно, то L, М / LM. В группе Фробениуса это невозможно. [38]
Если подгруппа F) К покрывается собственными изолированными подгруппами, то по предположению индукции она расщепляема. Группа F К как расширение нильпотентной группы F с помощью циклической группы не может быть симметрической группой подстановок четырех символов. Если F X К - группа Фробениуса, то подгруппа F как максимальная нильпотентная инвариантная подгруппа группы F К должна быть инвариантным множителем группы Фробениуса F К. [39]
Всякий неединичный элемент из А индуцирует в В регулярный автоморфизм. Томпсон [64, 65] доказал нильпотентность инвариантного множителя группы Фробениуса. Однако неизвестно, какие нильпотентные группы допускают группу регулярных автоморфизмов. Хигмен [33] рассмотрел важный случай - 2-группы, допускающие циклическую группу автоморфизмов, транзитивную на множестве инволюций. [40]
Если подгруппа М не имеет абелевых нормальных делителей, то из леммы 1 и теоремы 18 можно получить, что она проста. Тогда М содержит точно I ( s - 1) инволюций. Так как порядок дополнительного множителя в группе Фробениуса 7V ( Т) не превосходит 5 - 1 и пересечение 7V ( Т) с сопряженными с ней подгруппами содержится в некотором дополнительном множителе 7V ( Г), то в каждом смежном классе М но N ( Т) имеется не более s - 1 инволюции. [41]
По индуктивному предположению группа М2 расщепляема и не может быть симметрической группой подстановок четырех символов, так как она является расширением нильпотентной группы с помощью циклической группы. Случаи, когда максимальная инвариантная подгруппа - примарная группа или ЯГ-группа, уже рассмотрены. Поэтому можно считать, что М2 является группой Фробениуса и ее инвариантная подгруппа F сг ( так как с индуцирует в F нерегулярные автоморфизмы) лежит в инвариантном множителе. [42]
Из теоремы Фробениуса следует расщепляемость групп Фробениуса. Если Н - дополнительный множитель группы Фробени уса, то нормализатор любой подгруппы Ях из Н содержится в последней. Так как то же самое справедливо для любой подгруппы, сопряженной с Я, то сильно изолирован инвариантный множитель группы Фробениуса. Следовательно, любой неединичлый элемент, не содержащийся в инвариантном множителе, индуцирует в нем регулярный автоморфизм. [43]
Если подгруппа F) К покрывается собственными изолированными подгруппами, то по предположению индукции она расщепляема. Группа F К как расширение нильпотентной группы F с помощью циклической группы не может быть симметрической группой подстановок четырех символов. Если F X К - группа Фробениуса, то подгруппа F как максимальная нильпотентная инвариантная подгруппа группы F К должна быть инвариантным множителем группы Фробениуса F К. [44]
Предположим, что А - р-группа. Так как элементы из F индуцируют в А регулярные автоморфизмы, то все силовские подгруппы из Ациклические и строение подгруппы F в этом случае хорошо известно. Если В fP, то из теоремы 5.9 П. Г. Конторовича и В. М. Бусаркина [6] следует, что в М имеется характеристический ряд 1 а В a BF а М, где BF - группа Фробениуса с инвариантным множителем В, а фактор-группа MIB - группа Фробениуса с инвариантным множителем BF / B. В силу этого в группе Фробениуса NM ( Р) имеется характеристический ряд 1 с: си В с: BF a NM ( P) с: NM ( P) с такими же свойствами. Отсюда следует существование в NM ( P) инвариантной подгруппы BF f П м ( P) j не содержащей Р и не содержащейся в ней, что невозможно. [45]