Cтраница 1
Группы движений неевклидова пространства в общем случае не имеют приложений в теории автоморфных функций, но они имеют разнообразные приложения в теории чисел. [1]
Группа движений: q a - f Aq, где Aq есть краткое обозначение Y 3 QijQj и матрица А - ортогональная. [2]
Группа движений является нормальным делителем в группе преобразований подобия. Действительно, пусть U - произвольное преобразование подобия и Q - движение. Тогда U - 1QU будет преобразованием подобия, не меняющим длин отрезков ( при преобразовании U все длины умножаются на k, при преобразовании Q не меняются и при преобразовании U - l - умножаются на k 1), следовательно, это - движение. [3]
Группа движений в проективном пространстве Р3 с прямоугольной декартовой системой координат является измеримой лишь для совокупности четырех точек, и плотность меры равна при этом Д-4, где Д есть объем тетраэдра, вершинами к-рого являются эти точки. Плотность ее меры равна единице. Множество плоскостей относительно полной группы преобразований в Р3 не допускает меры; для множества плоскостей измерима лишь ее подгруппа ортогональных преобразований. Пары плоскостей допускают меру для группы центроаффинных унимодулярных преобразований. Множество сфер в Р3 допускает меру группы преобразований подобия, причем плотность меры равна R - l, где R - радиус сферы. Множество поверхностей 2-го порядка допускает меру полной группы преобразований в Р3, причем плотность меры равна Д-5, где Д есть инвариант поверхности. Множество окружностей в Р3 допускает меру группы преобразований подобия, причем плотность меры равна й - 4, где R - радиус окружности. Д-4, где Д есть ее определитель. Плотность меры множества точек в центроаффинном унимодулярном пространстве трех измерений равна единице. Измеримо и множество плоскостей в этом пространстве с плотностью р -, где р есть параметр нормального уравнения плоскости. [4]
Группа движений является группой Ли, а движения описываются ортогональными операторами. Sfm i, двойственном самому себе, определяются кодвижения - корреляции, переводящие каждые две точки в две 2т - плоскости, угол между к-рыми пропорционален расстоянию между точками, а каждые две 2т - плоскости - в две точки, расстояние между к-рыми пропорционально углу между плоскостями. Движения и кодвижения пространства Szm i образуют группу, являющуюся группой Ли. Геометрия 2-плоскости S совпадает с геометрией евклидовой, а геометрия 2-плоскости S - с геометрией неевклидовой плоскости. [5]
Группа движений n - мерного пространства Минковского изоморфна некоторой подгруппе движений пространства Еп, содержащей все параллельные переносы и все центральные симметрии. [6]
Группа движения Rn, порожденнная преобразованием (2.6) ( группа преобразования Галилея), подобна группе параллельных переносов Vm. Преобразование (3.1) есть их преобразование подобия. [7]
Группа движений плоскости называется дискретной, если каждую точку плоскости можно окружить таким кругом, что каждое движение из грушш либо оставляет данную точку неподвижной, либо выводит ее сразу за преде - - лы взятого круга. [8]
Эта группа движений весьма обширна. [9]
Помимо группы движений, в геометрии рассматриваются также различные другие группы преобразований, причем умножение преобразований всегда определяется как последовательное их осуществление. [10]
Эта группа движений весьма обширна. [11]
Имеется исключительная группа движений, охватываемых определением термина вибрация, но не являющихся вибрацией. Эта группа представлена вращением тел вокруг осей с постоянными или монотонно изменяющимися угловыми скоростями. [12]
Поэтому группа движений плоскости R имеет подгруппу, образованную движениями о о - ] - t t - - P и из теоремы (50.1) следует, что геометрии плоскости R есть геометрия Минковского. [13]
Операторы группы движений представляют собой операторы трансляций и операторы группы вращений. [14]
Для нетранзитивных групп движений О4 ранг матрицы равен трем ( см. § 26), и в этом случае допускается один оператор стационарной подгруппы. [15]