Cтраница 4
Микро - и макросимметрия кристаллов. Кристалл микроскопически представляет собой периодическое пространство ( однородный дисконтинуум), симметрия которого описывается пространственной группой. Макроскопически кристалл - сплошная анизотропная среда ( анизотропный континуум), симметрия которой описывается точечной группой. Симметрия физических свойств и формы может быть выше, но не ниже симметрии точечной группы. Точечная группа кристалла однозначно связана с его пространственной группой и получается из последней приравниванием нулю длин всех трансляций. При равенстве нулю длин трансляций все элементы симметрии получаемой точечной группы имеют по крайней мере одну общую точку. [46]
При моделировании молекулярными системами кристаллов точечная симметрия рассматриваемой квазимолекулы совпадает, как правило, с кристаллическим классом, являющимся для многих кристаллов группой высокой симметрии. В частности, кубической симметрией Oil обладают около 20 % всех кристаллов, в том числе многие металлы и полупроводники, диэлектрики со структурой типа NaCl, представляющие большой практический интерес сег-нетоэлектрики со структурой перовскита KNiFs. К классу Та относятся многие полупроводники ( структура сфалерита), к классу D6h - ряд металлов, некоторые слоистые соединения. Заметим, что даже если точечная группа кристалла не слишком богата ( как у кристаллов, относящихся к классу C2h и составляющих около 22 % всех известных в настоящее время), учет точечной симметрии при расчете электронной структуры целесообразен, если вспомнить о кубической зависимости времени диагонализации матрицы от ее порядка и необходимости итерационного расчета при самосогласовании. [47]
Во-первых, можно утверждать, что колебания атомов в кристалле могут быть описаны волновыми функциями, основанными на его трансляционной симметрии, подобно тому, как его электроны описываются блоховскими функциями. Например, звук является такого рода колебанием. Поэтому симметрия колебания определяется эффектом, который операции симметрии кристалла оказывают на оба этих вектора. Вследствие дискретного расположения атомов в кристалле волны с волновыми векторами k или k плюс вектор обратной решетки неразличимы ( этот вопрос будет обсуждаться далее в гл. В частности, группа точки У, или центра зоны, всегда совпадает с точечной группой кристалла. [48]
Применим теперь обозначения теории групп к электронным энергетическим зонам полупроводников типа алмаза и цинковой обманки. Поскольку электроны движутся в кристаллическом потенциале, их волновые функции могут быть симметри-зованы таким образом, чтобы отражать симметрию кристалла, т.е. быть записаны в такой форме, когда они принадлежат неприводимым представлениям пространственной группы кристалла. Однако для того, чтобы подчеркнуть свойства симметрии электронных волновых функций, мы будем предполагать, что кристллический потенциал исчезающе мал. В этой идеальной решетке или в модели почти свободного электрона энергия и волновые функции электрона являются такими же, как приведенные для свободной частицы в (2.18) и (2.19) соответственно. Электронная энергетическая зона, построенная в схеме расширенных зон, является просто параболой. Эта парабола выглядит значительно более сложно в схеме приведенных зон. Она имеет особенно устрашающий вид, если волновые функции обозначены в соответствии с неприводимыми представлениями точечной группы кристалла. Такие сложности возникли из-за использования симметрийных свойств кристалла, что предположительно должно было упростить проблему. [49]
Однако пространственная группа кристалла отражается в симметрии этих свойств не полностью. Такие элементы симметрии, как винтовые оси и плоскости скользящего отражения, не могут проявить в них своей индивидуальности. Макроскопические свойства кристалла одинаковы ПО параллельным направлениям. Например, если кристалл обладает осью симметрии четвертого порядка, то независимо от того, является ли она простой или винтовой, в обоих случаях в четырех направлениях, связанных поворотами на 90 вокруг оси, скорость роста граней кристалла, или пироэлектрические свойства, будут одинаковы и останутся неизменными при перемещении места наблюдения на любое расстояние вдоль оси. В отношении макросвойств кристалл ведет себя как непрерывная, а не дискретная анизотропная среда. Элементы симметрии, которыми эта симметрия описывается, не распределяются в пространстве; их можно считать пересекающимися в одной точке. Полезно поэтому рассмотреть точечную группу симметрии, сходственную той пространственной группе, которой обладает кристалл. Под этим термином понимается совокупность элементов симметрии, которая будет получена, если в пространственной группе уничтожить все трансляции, имеющиеся как в чистом виде, так и в сочетаниях с вращениями или отражениями. Иначе говоря, для получения точечной группы кристалла надо, во-первых, все элементы симметрии пространственной группы перенести ( параллельно себе) так, чтобы они пересеклись в одной точке, во-вторых, заменить винтовые оси простыми того же порядка, а плоскости скользящего отражения - плоскостями зеркального отражения. [50]