Cтраница 2
В упомянутой работе Сантало показал, что из 33 проективных групп на плоскости только 7 двупараметрических и 5 трехпара-метрических допускают инвариантные меры множества точек и множества прямых. Остальные группы не допускают инвариантной меры хотя бы одного из этих множеств. Но такие группы могут допускать инвариантные меры множеств пар: пары точек, пары прямых, пары - точка и прямая. Сантало 73 ] нашел все случаи существования таких мер. В обеих работах [73, 75] плотности вычислены во всех случаях, когда они существуют. [16]
Двойное отношение двух пар точек является величиной, инвариантной относительно проективной группы. [17]
Голоморфные векторные поля на комплексной проективной плоскости исчерпываются полями алгебры Ли проективной группы, линейными в однородных координатах. Другие поля направлений с конечным числом особых точек также оказываются алгебраическими. [18]
Тем самым классификация орбит сводится к классификации квадратичных форм под действием проективной группы. [19]
Из-за того, что запас проективных преобразований богаче запаса аффинных преобразований, проективная группа имеет меньше инвариантов, чем аффинная: каждый инвариант проективной группы является инвариантом аффинной группы, но обр-атное неверно. [20]
Таким образом, множество всех гиперплоскостей в Рп есть объект, инвариантный относительно проективной группы. Поэтому гиперплоскости относятся к предмету проективной геометрии. [21]
Используя результаты § 1, мы хотим теперь указать условия, при которых линейные и проективные группы имеют один и тот же узкофункциональный тип. Попутно будет установлена относительная элементарность некоторых подгрупп указанных групп. [22]
Мы хотим теперь показать, что характеристика Сегре является элементарным понятием и в проективных группах. Для этого нам будут нужны следующие два замечания. [23]
Поэтому множество бесконечно удаленных точек в пополненном аффинном пространстве не является объектом, инвариантным относительно проективной группы. [24]
Определение 28.12. Группа G ( Pn) всех проективных преобразований проективного пространства Рп называется проективной группой. [25]
В недавней работе ( 75 ], в точности придерживаясь алгоритма Чжэня, Сантало рассмотрел проективные группы на плоскости, относительно которых множества точек и множества прямых допускают инвариантную меру. Еще Софус Ли перечислил все проективные группы на плоскости, зависящие от т параметров, 2т8, т 7, выписав инфинитезимальные операторы групп. [26]
Обращаясь к группам симметрии еще более высоких размерностей, мы обнаруживаем, как показывает пример проективной группы, что при г 3 инвариантность уравнения n - го порядка относительно / - - параметрической группы не влечет за собой, вообще говоря, возможность найти общее решение по решению соответствующего редуцированного уравнения ( п - г) - го порядка с помощью квадратур. Проблема состоит в том, что, вообще говоря, не существует запаса нормальных подгрупп, достаточного для того, чтобы обеспечить постоянную применимость теоремы 2.60 и процедуру приведения для однопараметри-ческих групп на каждом этапе. Это мотивирует следующее определение таких групп, которые можно использовать для полного приведения или разрешения уравнения до степени, обещанной их размерностью. [27]
Аналогично предыдущему можно показать, что множество всех гиперповерхностей второго порядка в Рп есть объект, инвариантный относительно проективной группы. Поэтому гиперповерхности второго порядка относятся к предмету проективной геометрии. [28]
Все известные примеры разложимых в прямое произведение относительно свободных групп, так же как и примеры разложимых в прямое произведение несвободных проективных групп, принадлежат локально конечным многообразиям составной экспоненты. В этом мы усматриваем намек на возможную связь между этими двумя ситуациями. [29]
Если 11 - многообразие экспоненты, равной нулю или pk, свободные группы которого ниль-потентно аппроксимируемы, и если S - проективная группа многообразия 11, обладающая порождающим множеством, уаким, что & S является базисом группы SIS, то S есть 11 - Свободная группа. [30]