Cтраница 4
Таким образом, переход от элементарно групповых формул к элементарно кольцевым формулам, относящимся к полю К, совершенно прямой и не зависит от предыдущих рассмотрений. Обратный переход от формул, относящихся к полю К, к формулам, относящимся к линейным или проективным группам, более сложен и существенно опирается на построения предыдущих пунктов. [46]
Изложим схему доказательства этой теоремы. Конструкция такого семейства основана на построении схемы Гильберта поверхностей типа КЗ, вложенных в проективное пространство, и факторизации по проективной группе. [47]
Оглядываясь теперь на наши различные виды геометрий, мы видим, что преобразования, связанные с каждой из них, каждый раз образуют группу. Столь же легко можно убедиться в аналогичном значении аффинной группы ( состоящей из всех аффинных преобразований) для аффинной геометрии и проективной группы ( всех коллинеации) для проективной геометрии. Теоремы геометрии обратных радиусов остаются в силе при всех преобразованиях, получаемых композицией любых преобразований посредством обратных радиусов с подстановками главной группы; все они вместе взятые снова образуют некоторую группу, а именно - группу обратных радиусов. [48]
Проективные группы PG ( п, К) и PS ( п, К) являются фактор-группами линейных групп GL ( п, К) и SL ( п, К) по их центрам. Элементами проективных групп, таким образом, служат классы элементов соответствующих линейных групп, и элементы линейных групп можно рассматривать как представителей элементов проективных групп. [49]
Проективные преобразования, определяемые аксиомами, перечисленными во второй главе, составляют группу. Если в плоскости дана кривая второго порядка ( в пространстве - поверхность), то все проективные преобразования, оставляющие эту кривую на месте, составляют подгруппу проективной группы; это подгруппа автоморфизмов относительно указанной кривой. Теория инвариантов подгрупп автоморфизмов относительно выбранного геометрического образа составляет предмет метрической геометрии. Указанный геометрический образ называется абсолютом соответствующей геометрии. Например, группа аффинных преобразований является подгруппой проективных преобразований, при которых несобственная прямая остается несобственной. [50]