Cтраница 3
Из-за того, что запас проективных преобразований богаче запаса аффинных преобразований, проективная группа имеет меньше инвариантов, чем аффинная: каждый инвариант проективной группы является инвариантом аффинной группы, но обр-атное неверно. [31]
Таким образом, все системы отсчета, в которых имеет место первый закон Ньютона ( необходимое условие инерциалъности), связаны друг с другом проективной группой. [32]
Наконец, если положить в основу вместо группы всех аналитических преобразований некоторую подгруппу, то и группа соответствующих линейных преобразований величин и переходит в подгруппу проективной группы; инварианты выражения / ( dx) становятся опять инвариантами функций ( 8) по отношению к линейному преобразованию, но теперь уже по отношению к этой подгруппе. Так можно путем гомогенизации свести случай неоднородных функций f ( dx) к аффинной группе; полная система может быть здесь выведена из функций ( 8), образованных для большего на единицу числа переменных. [33]
В группе всех биективных отображений P ( V) - P ( V) проективные преобразования образуют подгруппу, обозначаемую символом PGL ( V) и называемую проективной группой. [34]
В частности, все отображения P ( f) биективны и P ( f - l) P ( f) Поэтому P ( f) пробегает группу отображений P ( L) в себя, которая называется проективной группой пространства P ( L) и обозначается PGL ( L), отображение Р: GL ( L) - PGL ( L), f - P ( f) является сюръективным гомоморфизмом групп. [35]
Проективные группы PG ( п, К) и PS ( п, К) являются фактор-группами линейных групп GL ( п, К) и SL ( п, К) по их центрам. Элементами проективных групп, таким образом, служат классы элементов соответствующих линейных групп, и элементы линейных групп можно рассматривать как представителей элементов проективных групп. [36]
Это естественно: проективная группа значительно шире группы движений, а потому ее инварианты должны быть более высокого порядка; но и окрестность 4-го порядка не определяет единственной прямой, к-рую можно принять за третью ось тетраэдра. [37]
Любая свободная группа F ( X) проективна. Верно и обратное, любая проективная группа свободна. [38]
Любая свободная группа Р ( Х) проективна. Верно и обратное, любая проективная группа свободна. [39]
Для тотальной проективности р-группы А необходимо и достаточно, чтобы ра Extz ( А / раА, В) 0 для любых группы В и трансфинита а. Имеется и конструктивное описание тотально проективных групп. [40]
Имеется и конструктивное описание тотально проективных групп. [41]
В недавней работе ( 75 ], в точности придерживаясь алгоритма Чжэня, Сантало рассмотрел проективные группы на плоскости, относительно которых множества точек и множества прямых допускают инвариантную меру. Еще Софус Ли перечислил все проективные группы на плоскости, зависящие от т параметров, 2т8, т 7, выписав инфинитезимальные операторы групп. [42]
Иными словами, если элементарная теория поля К неразрешима, то неразрешимы и элементарные теории каждой из указанных групп. В частности, неразрешимы элементарные теории всех указанных линейных и проективных групп над полем рациональных чисел. [43]
Примеры несвободных проективных групп, предложенные в следствии 44.34, очень близки к свободным группам многообразия. Однако существует много классов многообразий, где среди проективных групп встречаются свободные группы не основного многообразия, а некоторого его подмногообразия. [44]
Из этих выкладок видно, что при проективном преобразовании й-мерная плоскость переходит в А-мерную плоскость. Таким образом, множество всех й-мерных плоскостей в Р есть объект, инвариантный относительно проективной группы. Поэтому А-мерные плоскости относятся к предмету проективной геометрии. [45]