Cтраница 2
Составим последовательность гомотопических групп и их гомоморфизмов. [16]
Замечательным свойством гомотопических групп является тот факт, что эту последовательность можно переписать, используя одни лишь абсолютные группы. [17]
С отображением гомотопических групп еще легче: уже отображение / х - д / 2 / н / индуцирует нулевой гомоморфизм гомотопических групп. [18]
При вычислении гомотопических групп ( и не только для этого круга задач) очень полезной оказывается следующая конструкция. [19]
Проблема вычисления гомотопических групп многообразий и конечных комплексов является чрезвычайно трудной. Для неодносвязных комплексов, где группа ъ действует на всех щ, эта проблема является алгоритмически неразрешимой в самом сильном смысле математической логики. Даже для наиболее важного и простого случая односвязных комплексов ( например, сферы) конкретное вычисление гомотопических групп оказывается очень трудной нерешенной проблемой. [20]
Пример вычисления гомотопических групп сфер показывает, что, по-видимому - и это на самом деле так - общая задача вычисления гомотопических групп произвольных ( хотя бы клеточных) пространств очень трудна. Естественный путь решения этой задачи состоит в индукции по остовам, но, как мы увидим, в этой индукции едва-едва удается сделать лишь первый шаг. [21]
Связь между гомотопическими группами сфер и дифференцируемыми многообразиями была установлена Л. С. Понтрягиным в 30 - х годах. Эта связь служила основой метода оснащенных многообразий, разработанного Л. С. Понтрягиным для вычисления гомотопических групп сфер. [22]
Предложение 3.1. Если гомотопические группы пространстза F конечны, то функтор [, F ] естественно представляется как функтор в топологическую категорию вполне несвязных компактных хаусдорфовых пространств. [23]
Для того чтобы гомотопические группы нервов этальных покрытий были конечными, нужно наложить на X дополнительные требования: нормальности или неособости. [24]
Если пространство А имеет тривиальные гомотопические группы, ( в частности, линейно связно), то оно имеет и тривиальные группы гомологии. [25]
Z С-модулей в их гомотопических группах совпадают. [26]
Теорема Уайтхеда означает, что гомотопические группы в некотором смысле полностью характеризуют гомотопический тип клеточного комплекса. Но не нужно понимать это утверждение буквально: из совпадения у двух клеточных комплексов гомотопических групп никак не следует их гомотопическая эквивалентность, надо, чтобы изоморфизм гомотопических групп устанавливался непрерывным отображением. [27]
Аналогичное выражение групп кобордизмов через гомотопические группы ( правда, более громоздких пространств) имеется и для других теорий лагранжевых и лежандровых кобордизмов1, но эти гомотопические группы пока не вычислены. [28]
С другой стороны, эти гомотопические группы являются и Z-модулями. [29]
Если нервы этальиых покрытий имеют бесконечные гомотопические группы, то, прежде чем брать проективный предел, их надо пополнить. [30]