Cтраница 2
В заключение доказано, что если Sft есть циклическая группа порядка jf, то условие 3) является также достаточным. [16]
В группе А содержится в качестве достижимой подгруппы циклическая группа порядка рп. Таким образом, установлено, что в классе Ж содержатся циклические группы порядков рп по всем п, а р здесь пробегает все множество я. Так как каждая беровская я-группа порождается своими циклическими достижимыми р-подгруппамп с р я, то теперь ясно, что X есть класс всех беровских я-групп. [17]
Более общо, если абелева группа, являющаяся прямым произведением циклических групп порядка 2, действует на конечном множестве, то квантовый алгоритм определяет, t лежат ли два элемента множества на одной орбите действия этой группы. По-видимому, открытым вопросом является возможность решения этой задачи квантовым алгоритмом над конечным полем произвольной характеристики, т.е. когда абелева группа имеет более общий вид, нежели описано выше. [18]
Другими словами, ( 5 есть факторгруппа свободного произведения d циклических групп порядка lk по с-му члену убывающего центрального ряда. [19]
Пусть G - абелева группа порядка ра, являющаяся прямым произведением а циклических групп порядка р, где р - простое. [20]
Теорема 9.5 есть частный случай более сильной теоремы Смита, утверждающей, что если G - циклическая группа порядка р, то Ма есть обобщенное многообразие над Zp. Однако теория обобщенных многообразий в этой книге не рассматривается. Можно дать не зависящее от 9.3 прямое доказательство теоремы 9.5, используя последовательность Смита. Изложенный здесь метод Смита является, однако, значительно более широко приложимым. [21]
Группа Галуа W ( lm) Z ( lm, l) есть прямое произведение двух циклических групп порядка / т, т.е. максимальная группа показателя / т с двумя образующими. Ввиду этого нам достаточно доказать, что группа Галуа поля К ( 1т 1) имеет не более двух образующих. [22]
Пусть снова т - четное число я ( я) - 11 - характер второй степени на циклической группе Q порядка п Предположим, что числа т и: имеют общий нечетный делитель тпфм, и введем чясла т и AJ с помощью разложений Jn-mnm и А ejn. Очевидно, что подгруппа содержится в С. [23]
Прямая сумма А Ст 0 Сп двух конечных циклических групп взаимно простых порядков m, n является циклической группой порядка тп. [24]
Выше мы назвали циклической группой группу, образованную степенями одного из своих элементов, Можно сказать, что циклическая группа порядка п - это группа, изоморфная группе вращений правильного п-угольника ( легко видеть, что все циклические группы одного и того же порядка изоморфны между собой. [25]
Поясним это определение, используя ранее найденные смежные классы группы диэдра D3 по нормальной подгруппе / С, циклической группе порядка 3 ( стр. [26]
Нетранзитивные: подгруппы порядков 1, 2, 3, ненормальные четверные подгруппы и стабилизаторы точек ( 5); регулярные: циклические группы порядка 4 и нормальная четверная подгруппа; примитивные: А4; импримитивные: силовские 2-подгруппы и нормальная четверная подгруппа. [27]
Кроме того, очевидная индукция ( использующая тот факт, что группа нечетного порядка разрешима) сводит случай конечной группы нечетного порядка к случаю циклической группы G порядка р, которым мы и займемся. [28]
Сначала предположим, что основное поле К содержит корпи р-и степени из единицы; тогда согласно доказанному в начале этого параграфа группа Галуа является подгруппой циклической группы порядка р, а потому либо всей группой, либо единичной группой. В первом случае все корни сопряжены и, следовательно, уравнение неразложимо. Во втором случае все корни остаются инвариантными относительно подстановок группы Галуа; следовательно, уравнение распадается на линейные множители уже в поле К. Итак, многочлен хр - а либо неразложим, либо полностью разлагается на линейные множители. [29]
Такими группами, например, являются р-группы с циклической подгруппой индекса р, за исключением нециклических групп порядка р и групп диэдра; прямое произведение циклической группы порядка р и р-группы периода меньшего, чем р; 2-группы вида А Ъ, где Ь) 2 2 и аь - а - для всех аеЛ; прямое произведение любой р-группы, указанной выше и имеющей порядок, больший р, и элементарной абелевой р-группы. [30]