Cтраница 3
Сначала предположим, что основное поле К содержит корпи р-й степени из единицы; тогда согласно доказанному в начале этого параграфа группа Галуа является подгруппой циклической группы порядка р, а потому либо всей группой, либо единичной группой. В первом случае все корни сопряжены и, следовательно, уравнение неразложимо. Во втором случае все корни остаются инвариантными относительно подстановок группы Галуа; следовательно, уравнение распадается на линейные множители уже в поле К. [31]
Поскольку обе группы Нс ( Рп ( К) Pn-i ( R); Z2) и Я ( Р г); Z2) - циклические группы порядка 2, т - изоморфизм. [32]
С другой стороны, из теоремы об универсальных коэффициентах получаем, что / / i ( S Z) - бесконечная циклическая группа, а Н ( кР2; Z) - циклическая группа порядка два. Этот пример показывает, что в некоторых случаях целочисленные гомологии могут оказаться полезнее целочисленных ко-гомологии. [33]
Брук, распространивший идею разностного множества с циклического случая на случай групповых разностных множеств, заметил, что множитель t циклического разностного множества - это фактически автоморфизм х - - xt ( mod v) группы, лежащей в основе схемы ( здесь - циклической группы порядка v), одновременно являющийся автоморфизмом блок-схемы. [34]
Если Н - циклическая группа порядка п с образующей А, то у матрицы h должно быть собственное значение, равное 1 или - 1, и соответствующий целочисленный собственный вектор. Далее, если п не равно 2, то подгруппа С единственна, а если п 2, то у h есть собственное значение, равное 1, поэтому соответствующая подгруппа С ] в группе Т вновь единственна. [35]
Мы покажем, что они являются вершинами правильного икосаэдра V. Группа Г3 является циклической группой порядка 5, пусть у - ее образующая. Предположим, как и раньше, что if - 1 ( у) оставляет на месте п и - п и является вращением на угол 2л / 5 вокруг третьей координатной оси. [36]
Пусть группа G с конечным числом образующизет точно две максимальные подгруппы А и В, причем [ G: А ] р, В ] д, где р q - различные простые числа. Показать, что груш1 циклическая группа порядка p qj - ( Указание: показать, что подпа Af) B инвариантна и что группа GjA [ B циклична. [37]
В общем случае неверно, что только вершины многогранника Р ( G, r, g0) являются неприводимыми точками. Но если G - прямая сумма циклических групп порядка 2 или порядка 3, то на самом деле неприводимыми точками являются только вершины. [38]
При этом и самый гомоморфизм включается в понятие расширения, так что два разных гомоморфизма GI на G будут давать разные расширения. Если ядро гомоморфизма GI на G является циклической группой порядка /, то мы будем называть расширение простым и центральным. [39]
С точностью до обозначения элементов для множества, состоящего из п различных символов, существует лишь конечное число таблиц умножения, имеющих п клеток. Отметим, что группа диэдра порядка 6 и циклическая группа порядка 6 не изоморфны ( и, следовательно, абстрактно различны), так как вторая из этих групп коммутативна, а первая - нет. Можно показать, что других абстрактных групп порядка 6 не существует. [40]
Таблица умножения 11.3 для смежных классов К и ЬК суммирует полученные результаты. Она показывает, что эти смежные классы образуют циклическую группу порядка 2 и что смежный класс К является ее единицей. [41]
ТЕОРЕМА 3.1.1. Всякая подгруппа бесконечной циклической группы, отличная от единичной, является бесконечной циклической группой конечного индекса, и для любого конечного индекса существует одиа-единственная подгруппа. Всякая подгруппа конечной циклической группы порядка п является циклической группой порядка, делящего п, и для любого по. [42]
Таким образом, все п-группы образуют многообразие. N в А, что A / N является циклической группой порядка п - 1 и Л является смежным классом по N, порождающим циклическую группу A / N ( см. [1], с. При п 2 определение n - группы превращается в определение обычной группы. [43]
Ясно, что группа характеров Г G также ивляется циклической группой порядка тп. [44]
Доказать, что порядок группы А X В равен р можно так же, как был установлен порядок прямого произведения в решении предыдущей задачи. Следовательно, ни у одного из элементов прямого произведения А X В циклических групп порядка р не существует pz различных степеней. [45]