Cтраница 2
В [4] определены максимальные 2-сигнализаторы в конечных простых группах спорадического или исключительного лиева типа над полем нечетной характеристики. Доказаны следующие две теоремы. [16]
Докажите, что каждая конечная группа изоморфна подгруппе конечной простой группы. [17]
Однако первая послеклассификационная конференция - двухдневная специальная сессия по конечным простым группам на ежегодном собрании Американского математического общества в начале 1981 г. - быстро рассеяла мрачные предсказания. В самом деле, теория групп живет и здравствует. [18]
Имеется определенная аналогия между отсутствием сильно вложенных подгрупп в произвольной конечной простой группе и невырожденностью формы Киллинга при изучении полупростых алгебр Ли L. Последнее дает возможность заключить, что L имеет тривиальный радикал - результат, оказывающий глубокое влияние на внутреннее строение L. Подходящим аналогом радикала алгебры Ли L для конечных групп G служит Sol ( G) - наибольшая нормальная разрешимая подгруппа в G. Если G проста, то, безусловно, Sol ( G) и, в частности, 0 ( G) тривиальны. [19]
Горенстейн, активный участник и один из идеологов битвы за конечные простые группы, с энтузиазмом взялся за этот нелегкий труд, и книга, которую читатель держит в руках - один из трех томов запланированного сочинения. В нем все подается крупными мазками с расчетом на читающую публику, состоящую не только из математиков и заведомо не только из теоретике-групповиков. [20]
Таким образом, классификационная теорема показывает, что типичными представителями конечных простых групп являются группы типа Ли. Помимо них имеются лишь знакопеременные группы и 26 спорадических групп. Кроме того, в некотором смысле знакопеременные группы можно представлять себе как вырожденное семейство групп типа Ли, поскольку симметрические группы возникают в качестве групп Вейля линейных групп. [21]
В § Е с использованием результатов предыдущих параграфов н классификации конечных простых групп доказывается теорема ВЗ. [22]
В последние годы в связи с гипотезой о полноте списка известных конечных простых групп резко возрос интерес к задаче о максимальных группах подстановок. [23]
Ввиду последней теоремы гипотеза Шрейера о разрешимости внешней группы автоморфизмов любой конечной простой группы получается в качестве следствия классификации всех конечных простых групп. [24]
Фонга [7], в [4] определены централизаторы силовских 2-подгрупп во всех конечных простых группах. [25]
Вне зависимости от мнения по поводу возможного числа спорадических групп полная классификация конечных простых групп в то время рассматривалась, безусловно, как весьма отдаленная перспектива, поскольку непрерывный поток результатов не столько решал старые проблемы, сколько ставил новые. [26]
В свете предыдущего обсуждения мы можем теперь точно сформулировать классификационную теорему для конечных простых групп. [27]
Попутно с доказательством теоремы 3 в [4] выяснено строение нормализаторов силовских 2-подгрупп в конечных простых группах исключительного лиева типа над полем нечетной характеристики, что обобщает и уточняет утверждение (6.3) из [6] для этих групп. [28]
Теория дважды транзитивных групп перестановок представляет собой одну из наиболее красивых и глубоких глав теории конечных простых групп. Поэтому дважды транзитивные группы играют фундаментальную роль в классификационном доказательстве. Хотя их изучение не позволило обнаружить новые спорадические группы ( за исключением, конечно, известных ранее групп Матье), волнение, вызванное открытием Судзуки целого семейства таких новых простых групп, было-очень похоже на то, которое сопровождало рождение любой спорадической группы. В самом деле, вплоть до того момента, когда Ри показал, что группы Судзуки допускают интерпретацию в рамках лиевской теории, их самих рассматривали как семейство спорадических групп. [29]
Для произвольной проконечной группы G факторгруппа G / M ( G) изоморфна прямому произведению некоторого множества конечных простых групп. [30]