Cтраница 3
Связная группа Ли порождается ( как абстрактная группа) любой окрестностью единицы. [31]
Как уже было сказано выше, абстрактная группа определяется законом умножения элементов независимо от их природы, так что различные изоморфные между собой конкретно заданные группы можно рассматривать как модели одной и той же абстрактной группы. [32]
Связная группа Ли нильпотентна ( как абстрактная группа) тогда н только тогда, когда ее касательная алгебра нильпотентна. [33]
Связная группа Ли порождается ( как абстрактная группа) любой своей окрестностью единицы. [34]
Для дальнейшего следует отметить, что абстрактная группа кватернионов имеет пять различных неэквивалентных представлений, четыре из которых являются одномерными и одно - двумерным. [35]
Именно эти свойства входят в определение абстрактной группы. [36]
Можно поставить эти условия, определяющие абстрактную группу, в более узкой форме, причем из этих более узких требований остальные уже будут вытекать в качестве необходимых формальных следствий, но мы на этом останавливаться не будем. [37]
Возникает естественный вопрос, можно ли любую абстрактную группу рассматривать как группу преобразований. Ответ дает следующая теорема: каждая группа G изоморфна некоторой группе преобразований множества ее элементов. [38]
Возникает вопрос: обладает или нет каждая абстрактная группа точной реализацией. Если бы это было не так, то понятие абстрактной группы в развитом выше виде было бы слишком широким - существовали бы, в добавление к закону ассоциативности, другие чисто формальные законы для композиции преобразований, которые выполнялись бы в каждой группе преобразований. [39]
Тогда группа Q / Z проста как абстрактная группа. [40]
Обе группы 2 и Ф, как абстрактные группы, локально нильпотентны. Так как всякая локально нильпотентная группа является локально нетеровой, то подгруппы 2 и Ф составляют локально ограниченную пару. [41]
Прямое произведение групп Ли есть прямое произведение абстрактных групп, наделенное дифференцируемой структурой как прямое произведение дифференцируемых многообразий. [42]
Отображение комплексных алгебраических групп, являющееся гомоморфизмом абстрактных групп и антиголоморфным морфизмом групповых многообразий, называется антиголоморфным гомоморфизмом. Согласно предыдущему, комплексное сопряжение относительно любой вещественной формы G0 является инволютивным антиголоморфным автоморфизмом группы G. Для неприводимых групп верно и обратное. [43]
Условия для возможности такого утверждения в случае абелевых абстрактных групп были найдены Бэром. Существенная часть их Г р а е в ы м перенесена в топологические группы. Пусть G и G - Коммутативные локально компактные группы со второй аксиомой счет-яости. Вводя to множество подгруг / п топологию и называя структурный изоморфизм, Сохраняющий топологию, топологическим, Г р а е в находит аналогичные условия и для топологических структурных изоморфизмов. [44]
Он все сомневается, заниматься ли ему абстрактными группами. Но, в общем, математический ( а также методический - о преподавании в специальных вузах) разговор был достаточно содержателен и для него, вероятно, достаточно полезен. [45]