Cтраница 2
Пусть алгебраическая группа G ре-гулярно действует на многообразии X. Пусть У, Z - подмножества множества X, причем Z замкнуто. [16]
Пусть алгебраическая группа G регулярно действует на ( непустом) многообразии X. Тогда каждая орбита есть гладкое локально замкнутое подмножество многообразия X, граница которого - объединение орбит строго меньшей размерности. [17]
Если алгебраическая группа G действует на аффинном многообразии X ( например, на себе самой), то мы получаем также еще и интересное линейное действие группы G на аффинной алгебре К [ X ] и некоторых ее конечномерных подпространствах. [18]
Пусть алгебраическая группа G действует на аффинном многообразии X. В предположении, что все рациональные представления группы G вполне приводимы, доказать, что К [ Х ] - конечно порожденная / ( - алгебра. [19]
Пусть алгебраическая группа G действует транзитивно на каждом из двух неприводимых многообразий X, У, и пусть ф: X - Y - биективный G-эквива-риантный морфизм. Если многообразие Y полно, то и X полно. [20]
Пусть алгебраическая группа G разлагается в полупрямое произведение своих алгебраических подгрупп GI и G2 как абстрактная группа. [21]
Если алгебраическая группа G действует на квазипроективном многообразии М, то элементы из G переводят каждую неприводимую компоненту многообразия М в себя. [22]
Всякая коммутативная алгебраическая группа, состоящая из полупростых элементов, является квазитором. [23]
Всякая коммутативная алгебраическая группа является прямым произведением квазитора и векторной группы. [24]
Всякая связная вещественная алгебраическая группа неприводима. [25]
Определение алгебраической группы аналогично определению группы Ли, только дифференцируемые многообразия заменяются алгебраическими, а дифференцируемые отображения - морфизмами алгебраических многообразий. В этой книге мы будем рассматривать только такие алгебраические группы, многообразие которых является аффинным. Их называют аффинными или линейными алгебраическими группами. Разница между произвольными алгебраическими группами и аффинными, весьма существенная с точки зрения алгебраической геометрии, почти незаметна с точки зрения теории групп, поскольку коммутант любой неприводимой алгебраической группы является аффинной алгебраической группой. Кроме того, полная линейная группа и всякая ее алгебраическая подгруппа являются аффинными алгебраическими группами. Поэтому для теории групп Ли наибольший интерес представляют именно аффинные алгебраические группы. [26]
Гомоморфизмом алгебраических групп называется отображение, являющееся одновременно гомоморфизмом групп и морфизмом алгебраических многообразий. [27]
Морфизм алгебраических групп - это гомоморфизм групп, который одновременно является морфизмом алгебраических многообразий. [28]
Для вещественных алгебраических групп общие множества уровней инвариантов распадается на конечное число связных компонент, которые не отделяются рациональными инвариантами ( ср. [29]
Характер алгебраической группы G - это просто морфизм алгебраических групп G-Gm. [30]