Cтраница 1
Линейная алгебраическая группа G cz GLn ( k) является линейно редуктивной тогда и только тогда, когда любое ее рациональное представление полупросто. [1]
Все линейные алгебраические группы расщепляемы. [2]
Теория линейных алгебраических групп в настоящее время занимает одно из важных мест в современной математике. Ее чрезвычайно интенсивное развитие в последние 10 - 15 лет характеризуется глубокими связями с различными разделами математики, в частности с алгебраической геометрией, теорией чисел, функциональным анализом и топологией. Уже давно назрела необходимость в обстоятельном изложении основ теории линейных алгебраических групп. [3]
Пусть G - линейная алгебраическая группа, определенная над полем рациональных чисел Q. Группа G называется редуктив-н о и, если она не содержит унипотентных) связных как алгебраическое многообразие нормальных делителей, отличных от тривиального. [4]
ТЕОРЕМА 4.207. Если G-простая линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем / С, то G изоморфна ( присоединенной) простой группе Шевалле над / С. [5]
ТЕОРЕМА 4.209. Пусть G-связная линейная алгебраическая группа над К и о-алгебраический эндоморфизм G на G, для которого G0 - конечная группа. [6]
ТЕОРЕМА 4.214. Если G-односвязная линейная алгебраическая группа и о-ее полу простой автоморфизм, то подгруппа его неподвижных точек Ga является связной редуктивной линейной алгебраической группой. [7]
Если G - неприводимая разрешимая линейная алгебраическая группа, то мы покажем, что существуют две ее подгруппы N и А, обладающие следующими свойствами: обе они неприводимы; N - нормальный делитель в G ( А этим свойством, вообще говоря, не обладает); элементы алгебры Ли группы N суть нильпотентные элементы алгебры Ли группы G группа А абелева, и ее элементы полупросты; каждый элемент группы G представим, и притом единственным образом, в виде произведения элемента из N на элемент из А. [8]
Предварительно введем понятие линейной алгебраической группы. [9]
Вторая глава посвящена теории линейных алгебраических групп. Изучение алгебраических групп было начато в прошлом столетии Маурером в ряде мемуаров ( особенно следует отметить работу Zur Theorie der continuierlichen, homogenen und linearen Gruppen, Sitz. Maypep указал условия, которым должна удовлетворять алгебра Ли линейной группы, для того чтобы группа была алгебраична. К этому вопросу недавно вернулись, с одной стороны, А. Ф. Туан и я, с другой - Е. Р. Кольчин; в то время как работы Мау-рера касались групп матриц с комплексными коэффициентами, указанные недавние работы направлены на изучение групп с коэффициентами из произвольного поля. [10]
Как известно, Autg - линейная алгебраическая группа, касательной алгеброй к которой служит алгебра дифференцирований Derg. Идеал adgcDerg изоморфен алгебре g и потому алгебраичен. [11]
ТЕОРЕМА 4.213. Пусть С - связная линейная алгебраическая группа над К и а-алгебраический эндоморфизм G на G, для которого G0 - конечная группа. [12]
Известно, что подгруппа Картана линейной алгебраической группы G содержит представитель каждого сопряженного класса полупростых элементов. Этот факт в значительной степени облегчает вычисление их централизаторов. [13]
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ГРУППА - подгруппа II линейной алгебраической группы G, определенной над полем Q рациональных чисел, удовлетворяющая следующему условию: существует точное рациональное представление р: G - GLa, определенное над Q ( см. Представлений теория), такое, что р ( И) соизмерима с f ( G) ( ] GL ( n, 2D, где 2 - - кольцо целых чисел ( подгруппы А н В группы С наз. Тогда для любого другого точного Q-онределенного представления это условие также будет выполнено. [14]
Редуктивная ( комплексная или вещественная) линейная алгебраическая группа вполне приводима. [15]