Cтраница 2
Книга посвящена систематическому изложению основ теории линейных алгебраических групп. Она представляет несомненный интерес для специалистов в различных областях алгебры, геометрии, функционального анализа, теории представлений и др. Отточенное, тщательно продуманное изложение делает книгу особенно удобной для первоначального знакомства с предметом. [16]
Хамфри представляет собой введение в теорию линейных алгебраических групп и не затрагивает ее многочисленных приложений. Автор стремился к тому, чтобы дать четкое, последовательное и замкнутое в себе изложение основ теории, доступное студентам старших курсов университетов. [17]
Если GczGL ( ] /) - линейная алгебраическая группа, то полиномиальным, или рациональным представлением группы G в W называется гомоморфизм G-GL ( W), являющийся одновременно морфизмом аффинных алгебраических многообразий. [18]
Заметим также, что если G - комплексная линейная алгебраическая группа, то число О1ткС ( д) совпадает с минимальной коразмерностью орбиты для представления Ad группы G в пространстве fi, сопряженного с присоединенным представлением. [19]
Эти заметки представляют собой введение в теорию линейных алгебраических групп. В первую очередь излагается основной материал об алгебраических группах над произвольным полем ( гл. I, II), а затем обсуждается строение разрешимых и редуктив-ных групп над алгебраически замкнутым полем ( гл. [20]
Следовательно, достаточно изучать теорию инвариантов лишь линейных алгебраических групп. [21]
Эти заметки охватывают лишь первую часть теории линейных алгебраических групп над полем. [22]
Понятие рациональной эквивалентности оказалось особенно эффективным 8 теории линейных алгебраических групп, прежде всего торов. [23]
Весьма вероятно, что аналогичное утверждение справедливо для любой редуктивной линейной алгебраической группы. Однако, насколько нам известно, это до сих пор не доказано. [24]
Для исключительных групп рассуждения обычно берут начало в теории линейных алгебраических групп, поскольку исключительные группы являются множествами рациональных точек подходящих эндоморфизмов соответствующих алгебраических групп. Иногда последняя точка зрения может быть использована также и для классических групп. С другой стороны, некоторые свойства групп типа Ли ( например, описание их мультипликаторов Шура) опирается на задание этих групп в терминах образующих и соотношений Шевалле - Стейнбер-га. [25]
Определение 9.2. Пусть Г - конечно порожденная группа и О - простая линейная алгебраическая группа ( С - ее вещественные точки), определенная над R и действующая алгебраически на Нот ( Г, б) при помощи сопряжения. Представление pgHom ( r, G) называют устойчивым, е сли орбита б-р замкнута в Нот ( Г, О) и стабилизатор-подгруппа Z ( p) представления р в группе О конечна. [26]
Пусть X - аффинное алгебраическое многообразие, на котором регулярно действует линейная алгебраическая группа G, и У - подмногообразие в X, инвариантное относительно некоторой подгруппы Я в G. Предположим, что Gy [ Y Hy для любой точки у е У. Тогда для любой Я-инвариантной регулярной функции f на У существует такая G-инвариантная рациональная функция f на G-У ( чертой обозначено замыкание в X), что J цела над локальным кольцом любой точки е G-У и индуцирует / на У. Множество G-У при этом открыто в G-У, и если G-У нормально, а коразмерность G-У - G-У в G-У больше 1, то f регулярна на G-У, а сужение функций с G-У на У определяет изоморфизм алгебры G-инвариантных регулярных функций на G-У и алгебры / / - инвариантных регулярных функций на У. [27]
Пусть теперь поле k алгебраически замкнуто и G с: с: GL ( V) - линейная алгебраическая группа. [28]
На самом деле имеет место более общий результат, теорема Хабоуша ( см. Хабоуш [1]), согласно которой любая полупростая линейная алгебраическая группа редуктивна. Доказательство упомянутой выше теоремы требует знания теории представлений полупростых групп, на которой мы здесь не останавливаемся. [29]
ТЕОРЕМА 4.214. Если G-односвязная линейная алгебраическая группа и о-ее полу простой автоморфизм, то подгруппа его неподвижных точек Ga является связной редуктивной линейной алгебраической группой. [30]