Cтраница 3
Вычисление централизаторов элементов ( и неподвижных точек автоморфизмов) конечных групп типа Ли основано на другом фундаментальном результате Стейнберга о линейных алгебраических группах G. Рассматривая G как матричную группу, мы называем элемент л: из G полупростым, если он диагонализуется. [31]
При квантовании алгебраических групп понятен и общепринят, по крайней мере, ответ на вопрос о том, в какую вселенную попадают квантованные линейные алгебраические группы. Они попадают во вселенную алгебр Хопфа. [32]
На самом деле утверждение 2.4.11 не является более общим, чем 2.4.10. Оно вытекает из 2.4.10, если воспользоваться тем, что образ линейной алгебраической группы при рациональном представлений снова является линейной алгебраической группой; последнее следует из элементарных результатов теории алгебраических групп, Борель [ 1, стр. [33]
В 1950 - х годах Шевалле [67], используя красивую смесь теории Ли и алгебраической геометрии, полностью классифицировал простые ( и полупростые) линейные алгебраические группы. [34]
Тип соответствия между подгруппами группы Ли и подалгебрами ее алгебры Ли, который возник в теории Ли, имеет точный аналог в теории Шевалле линейных алгебраических групп. [35]
Преимущество аксиоматического подхода к системам корней ( см. Serre [2], Bourbaki [2]) состоит в том, что его результаты применимы одновременно к алгебрам Ли, группам Ли и линейным алгебраическим группам. [36]
На самом деле утверждение 2.4.11 не является более общим, чем 2.4.10. Оно вытекает из 2.4.10, если воспользоваться тем, что образ линейной алгебраической группы при рациональном представлений снова является линейной алгебраической группой; последнее следует из элементарных результатов теории алгебраических групп, Борель [ 1, стр. [37]
Хамфри Линейные алгебраические группы занимает промежуточное положение между учебником и монографией. Теория линейных алгебраических групп играет важную роль в современной математике. [38]
Известно, что в алгебраической геометрии есть два основных класса групп. Это линейные алгебраические группы, реализуемые как подгруппы в группе матриц, задаваемые системами алгебраических уравнений, и абелевы многообразия, которые являются коммутативными, но зато не аффинными. Абелевы многообразия - это интересные алгебраические многообразия, которые вкладываются в проективное пространство. Простейшими примерами абелевых многообразий являются неособые кубические кривые на плоскости. На абелевых многообразиях есть групповые законы, но все эти законы коммутативны. [39]
Пусть G - линейная алгебраическая группа, определенная над полем Q, GA-группа ее аделей и GQ - группа главных аделей. [40]
Редуктивная комплексная алгебраическая группа G является алгебраическим замыканием некоторой компактной подгруппы ( см. теорему 7), которая вполне приводима по следствию из теоремы 3.4.2. В силу задачи 27 G также вполне приводима. Если G - вещественная редуктивная линейная алгебраическая группа в векторном пространстве V над К, то G ( С) - комплексная редуктивная группа в пространстве ( С) - Поэтому в силу задач 25 и 27 G вполне приводима над К. [41]
При этом под редуктивной линейной алгебраической группой понимается группа, называвшаяся раньше в литературе геометрически редуктивной. Эта глава содержит также более или менее известные результаты о рядах Пуанкаре градуированный алгебр, восходящие по существу еще к Гильберту. [42]
Более глубокие результаты о линейных алгебраических группах относятся главным образом к теории полупростых групп, которой мы здесь не занимаемся. В теории инвариантов эта теория используется в доказательстве теоремы о редуктивности полупростых групп, которое было дано Хабоушем ( в гл. [43]
В следующем примере мы рассмотрим подгруппу Тп Т группы GLn ( k), состоящую из всех невырожденных диагональных матриц. Ясно, что Т является линейной алгебраической группой. Всякая линейная алгебраическая группа, изоморфная () группе Тп для некоторого п, называется алгебраическим тором. [44]
В настоящей главе изложены вопросы, относящиеся к общей теории групп, а также к теориям упорядоченных и топологических групп. Конечные группы, группы Ли, линейные и алгебраические группы, а также теория представлений групп здесь не рассматриваются. Результаты, специфические для абе-левых групп и групповых колец, можно найти в гл. [45]