Cтраница 4
Эта информация является исчерпывающей в теории линейных алгебраических групп над полем характеристики нуль. [46]
Первый из двух докладов Ю. И. Манина посвящен некоммутативной геометрии, точнее говоря, попыткам определить квантовый вариант абе-лева многообразия. В отличие от устоявшегося понятия квантовой группы ( квантования линейных алгебраических групп), абелевы многообразия традиционным способом не квантуются. Основная идея - рассмотреть накрывающий алгебраический тор и проквановать его и решетку мультипликативных периодов, иными словами, построить квантовые тэта-функции. Завершается доклад очень интересными филосовскими рассуждениями о том, какой же должна быть некоммутативная геометрия и какова ее связь с коммутативной. [47]
Абелевы многообразия за последние 15 лет были глубоко изучены Вейлем и его школой. В семинаре, который Шевалле вел в прошлом году, были исследованы простые линейные алгебраические группы. Доказано, что если основное поле достаточно мощное, то получаются группы, в точности соответствующие классическим простым группам. Этот результат можно применить к исследованию групп над конечным полем, которые приводят к конечным простым группам. Как показал Хертциг, таким образом получаются известные до сих пор простые конечные группы и две новые. [48]
В следующем примере мы рассмотрим подгруппу Тп Т группы GLn ( k), состоящую из всех невырожденных диагональных матриц. Ясно, что Т является линейной алгебраической группой. Всякая линейная алгебраическая группа, изоморфная () группе Тп для некоторого п, называется алгебраическим тором. [49]