Cтраница 4
Это следует из того, что различные собственные векторы коммутативной матричной группы IK /, ортогональны. Следующая лемма является уточнением этого утверждения. [46]
Большой цикл задач относится к обобщениям известных теорем о матричных группах над полями на группы над кольцами и телами. Отметим, в частности, следующие факты, относящиеся к матричным группам над коммутативным кольцом с единицей. Локально нильпотентный радикал каждой такой группы совпадает с множеством ее нильэлементов, а периодичность в этой ситуации влечет локальную конечность ( В. [47]
В доказательствах используются приведенные в предыдущем параграфе теоремы о разрешимых матричных группах. В действительности приводимые ниже результаты являются обобщениями соответствующих свойств матричных групп. [48]
Теперь уже можно доказать и теорему 1.1. Пусть Г - периодическая матричная группа и пусть эта группа действует в конечномерном пространстве G. Пусть [ Н ] - некоторый Г - композиционный ряд в G, и 2 - Г - центра-лизатор этого ряда. Согласно предыдущей лемме в каждом факторе композиционного ряда группа Г действует как локально конечная, а из теоремы Ремака можно заключить, что и Г / 2 - локально конечная группа. Так как расширение локально конечной группы с помощью локально конечной группы - снова такая же группа, то Г - локально конечная группа. [49]
Из него, в частности, вытекает, что в матричной группе TL ( G) выполняется условие минимальности для централизаторов подмножеств. Опираясь на этот факт, в частности, легко строить примеры трупп, не допускающих точного матричного ( конечномерного) представления ( ср. [50]