Cтраница 2
Если С - нильпотентная группа и С / С циклическая, то С циклическая. [16]
Пусть G-произвольная локально нильпотентная группа и пусть в G имеется нормальный делитель Н конечного ранга. Через F обозначим периодическую часть в Я, и пусть Fp - силовская р-подгруппа в F. Каждая Fp есть группа Черникова. Так как F есть прямое произведение всех Fp, то теперь можно утверждать, что в F имеется возрастающий ряд характеристических подгрупп [ FJ, каждый фактор которого - элементарная абелева группа. Во всех этих факторах группа G действует как финитно стабильная группа. [17]
СЛЕДСТВИЕ 10 2.4. Нильпотентная группа с конечным числом образующих удовлетворяет условию максимальности. [18]
Следствие 4, Нильпотентная группа имеет конечный базис полугрупповых тождеств тогда и только тогда, когда она либо абелева, либо имеет конечный период. [19]
Частично упорядоченные локально нильпотентные группы. [20]
Действительно, локально нильпотентные группы без кручения согласно 13 ] являются доупорядочиваемыми группами. [21]
Частично упорядоченные локально нильпотентные группы. [22]
Если G - нильпотентная группа и Н - такая подгруппа, что G HG, то Н G, в частности, коммутант G содержится в подгруппе Фраттини Ф ( О) группы G. [23]
Если G - нильпотентная группа и Я - такая подгруппа, что G HG, то Я G, в частности, коммутант G содержится в подгруппе Фраттини D ( G) группы G. [24]
Если G - нильпотентная группа без кручения, R Z, S Q, то группа GQ называется мальцевским пополнением группы G. Если RZ, SZp, то группа Gzp называется р-адическим пополнением G. [25]
Если Я - нильпотентная группа, содержащая группу C ZQ ( T), то мы можем считать, что группа Я замкнута. [26]
Ясно, что нильпотентная группа ступени п является ниль-потентной группой любой большей ступени. [27]
Пусть N - односвязная нильпотентная группа Ли, А - конечная группа автоморфизмов N и G - - равномерная дискретная подгруппа без кручения полупрямого произведения A-N. Ауслендер [3], пересечение N Г G является равномерной дискретной подгруппой в N и подгруппа N П G имеет конечный индекс в G. Подгруппа G действует на N свободно, так как если g e G, а х N и g ( x) х, то gn ( х) х при всех л, но при некотором п отображение gn - это просто левый сдвиг на некоторый элемент N. Следовательно, из того, что gn ( х) х, вытекало бы, что gn - единица группы G, но это противоречит тому, что G - группа без кручения. Таким образом, фак-торпространство N / G ( пространство орбит действия G на N) является компактным многообразием. [28]
Таким образом, свободные нильпотентные группы с конечным числом порождающих допускают изоморфное представление в надлежащей группе матриц. Согласно лемме отсюда следует, что нильпотентные группы данной ступени образуют 3-класс. Второе утверждение теоремы 11 непосредственно вытекает из следствия теоремы 3, так как на группах конгруэнтности перестановочны и непрерывные полные конгруэнтности отвечают разбиениям на смежные классы по замкнутым нормальным делителям. [29]
S Ми - связная нильпотентная группа, содержащая группу С. [30]