Cтраница 3
Но не только вся совокупность невырожденных линейных преобразований трехмерного пространства образует группу. Такие группы называются подгруппами полной линейной группы. Рассмотрим несколько примеров таких подгрупп. [31]
В связи с этими замечаниями естественно возникает следующий вопрос: верно ли, что для всякой алгебраической подгруппы из PL ( G) можно так определить полилинейные операции в G ( внешние или внутренние), чтобы заданная группа была группой всех автоморфизмов возникающей здесь линейной системы. Но все эти операции инвариантны относительно соответствующей полной линейной группы, так что нужной Галуа-замкнутости здесь нет. [32]
Поскольку теперь мы имеем дело с полной линейной группой, условимся рассматривать только однородные инварианты, не оговаривая каждый раз особо, что они однородны. [33]
Пусть теперь множество Аа и порождающая функция 8а удовлетворяют предположению 3 и в Аа нет 2-кусочно-линейных функций. Очевидно, что в этом случае R совпадает с полной линейной группой. Без ограничения общности рассуждений, будем считать, что ( х) 8а - 2х и элемент х лежит в Ма. [34]
Раньше математики охотно следовали примеру Кэли и каждую группу линейных преобразований путем присоединения к ней абсолютных элементов 21 пытались сводить к полной линейной группе. Сам Клейн часто пользовался этим искусственным приемом. Так, путем присоединения бесконечно удаленной плоскости удается перейти от аффиного пространства к проективному. Именно в таком аналитическом одеянии представил Эйнштейн свою общую теорию относительности. [35]
Редуктивные алгебры - это такие алгебры, у которых производные алгебры полупросты; они изоморфны произведениям абелевых и полупростых алгебр. Важность их связана с тем, что алгебры Ли компактных групп всегда редуктивны, но не всегда полупросты; кроме того, алгебра Ли полной линейной группы - редуктивная, но не полупростая алгебра. Теорема Вейля отчасти обобщается на случай редуктивных алгебр Ли: представление редуктивной алгебры Ли полупросто тогда и только тогда, когда оно индуцирует полупростое представление центра алгебры. С другой стороны, для того чтобы алгебра Ли g над полем характеристики 0 была редуктивна, необходимо и достаточно, чтобы она обладала по меньшей мере одним точным полупростым представлением. Отметим существенную разницу между случаем алгебр Ли и случаем ассоциативных алгебр: в последнем всякая алгебра, допускающая точное полупростое представление, сама полупроста и, следовательно, все ее представления полупросты. [36]
Если V - радикал Джекобсона в L, то нормальный делитель, состоящий из матриц Е - - А, A. Vn, есть точно а-радикал aLn ( T ( n, L)), а если все А брать из Rn, то мы также придем к - РаДикалУ полной линейной группы. Было бы интересно рассмотреть аналогичный вопрос и при М бесконечном. [37]
Кольца, в которых все конечно порожденные правые идеалы или все n - порожденные правые идеалы являются свободными, образуют более широкие классы полу - Р1 - колец и n - FI-колец соответственно. В § 1.1 рассматриваются различные эквивалентные определения n - FI-колец и устанавливаются связи с коммутативным случаем; кольца свободных идеалов и их основные свойства рассматриваются в § 1.2. В следующем § 1.3 мы изучаем подклассы упомянутых выше классов колец, которые определяются условием, что линейные соотношения в этих кольцах могут быть тривиализуемы с помощью некоторой подгруппы полной линейной группы. [38]
По-видимому, единственными простыми величинами, с которыми мы имели дело, являются тензоры, характеризующиеся - помимо их порядка - определенными условиями симметрии. V для полной линейной группы с и для ее унитарной подгруппы и; она утверждает, что все представления группы с ( или ц) можно получить - путем приведения из степеней с, ( с) % ( с) 3 и что неприводимые составляющие представлений ( с) / получаются наложением определенных условий симметрии. [39]
Это соображение позволяет сводить многие вопросы относительно матричных колец и групп над коммутативными кольцами с единицей к соответствующим вопросам относительно групп и колец над полями. Это и аналогичное замечание по поводу радикала Джекобсона имеют прямое отношение к а - и у-радикалам полной линейной группы. [40]
Во всех остальных случаях имеется много ( если Ж бесконечно, то бесконечно много) изоморфизмов. В частности, имеется много изоморфизмов пространства L с самим собой. Эта группа называется полной линейной группой пространства L. [41]
Оно основано на комбинаторике таблиц Юнга. Это то, чем занимается алгебраическая комбинаторика, можно сказать, комбинаторика типа А. Она имеет дело с симметрической группой, с полной линейной группой. [42]
Определение алгебраической группы аналогично определению группы Ли, только дифференцируемые многообразия заменяются алгебраическими, а дифференцируемые отображения - морфизмами алгебраических многообразий. В этой книге мы будем рассматривать только такие алгебраические группы, многообразие которых является аффинным. Их называют аффинными или линейными алгебраическими группами. Разница между произвольными алгебраическими группами и аффинными, весьма существенная с точки зрения алгебраической геометрии, почти незаметна с точки зрения теории групп, поскольку коммутант любой неприводимой алгебраической группы является аффинной алгебраической группой. Кроме того, полная линейная группа и всякая ее алгебраическая подгруппа являются аффинными алгебраическими группами. Поэтому для теории групп Ли наибольший интерес представляют именно аффинные алгебраические группы. [43]
Вернемся теперь снова к полному матричному кольцу К К ( М, L) и определим один класс гомоморфизмов этого кольца. L, то через а мы обозначим сейчас образ элемента а при естественном гомоморфизме кольца L, отвечающем идеалу U. Легко видеть, что отображение А-А есть гомоморфизм кольца К. Ядром этого гомоморфизма служит идеал Я, состоящий из матриц, все элементы которых принадлежат U. Каждый гомоморфизм такого типа индуцирует гомоморфизм соответствующей полной линейной группы над L. [44]
Между строением кольца L, модуля G и строением матричного кольца К имеются многие важные связи, хорошо изученные при М конечном. Пусть множество М состоит из п элементов. В этом случае модуль строк над L мы обозначим через Lw, а соответствующее кольцо матриц - через Ln. Джекобсон [4]), что если U - радикал Джекобсона в L, то радикал Дже-кобсона в Ьп есть Un. Отсюда следует, что если L - коммутативное кольцо с единицей, то множество матриц вида Е - - А, A. Un, есть нормальный делитель в полной линейной группе Г Г ( тг, L), действующий тождественно во всех / - композиционных факторах модуля Ln. Этот нормальный делитель, следовательно, является слабо стабильной относительно Ln группой. [45]