Cтраница 3
Преимущество нового подхода состоит в том, что такие жесткие объекты, как компактные или полупростые группы Ли, допускают нетривиальные деформации в более широкой категории квантовых групп. [31]
Атом углерода обладает четырьмя валентными электронами i 2s - 2p -), и поэтому при образовании четырех двухэлектронных связей н приобретает стабильную структуру неона, с заполненной второй квантовой группой, состоящей из 8 алектронов. Как уже было сказано, эти четыре связи расположены тетраэдрически, и используемые при этом орбиты называются / - гибридами. [32]
В атомах меди и золота предпоследняя квантовая группа ( соответственно третья и пятая) уже заполнены ( пятая группа не заполняется дальше уровня 5 d), а в атоме серебра четвертая квантовая группа заполнена только восемнадцатью электронами ( 4s, 4 / 7 и 4d) - устойчивая конфигурация, существующая до редких земель. В редк земельных металлах заполняется вся оболочка 4 f до 32 электронов. Каждому из этих атомов соответствуют переходные элементы с незаполненными предпоследними оболочками и обладающие такими характерными свойствами, как переменная валентность и образование окрашенных парамагнитных ионов. Например, за медью, серебром и золотом следуют соответственно никель, палладий и платина. Помимо того, что эти атомы образуют обычно бесцветные однозарядные ионы см. ниже), элементы медь, золото и серебро также ведут себя как переходные элементы, а именно - они проявляют более высокую валентность. [33]
Для простоты изложения мы ограничимся случаем невырожденных матриц Картана. Можно также сопоставить квантовую группу любой симметризуемой обобщенной матрице Картана, и ряд результатов, упомянутых ниже ( при рассмотрении интегрируемых представлений) при этом останется верным. [34]
Таким образом, понятия квантовой группы и алгебры Хопфа фактически эквивалентны. При этом подчеркнем, что квантовая группа, вообще говоря, группой в обычном смысле не является. [35]
В настоящей работе изучаются ассоциативные алгебры со структурой алгебры Пуассона на центре, действующей дифференцированиями на остальной части алгебры. Эти структуры появляются при изучении квантовых групп от корней из единицы и соответствующих алгебр. [36]
Первый из двух докладов Ю. И. Манина посвящен некоммутативной геометрии, точнее говоря, попыткам определить квантовый вариант абе-лева многообразия. В отличие от устоявшегося понятия квантовой группы ( квантования линейных алгебраических групп), абелевы многообразия традиционным способом не квантуются. Основная идея - рассмотреть накрывающий алгебраический тор и проквановать его и решетку мультипликативных периодов, иными словами, построить квантовые тэта-функции. Завершается доклад очень интересными филосовскими рассуждениями о том, какой же должна быть некоммутативная геометрия и какова ее связь с коммутативной. [37]
В обзоре отражены работы последних лет по алгебрам квантовых многочленов. Рассмотрена связь с конструкцией скрещенного произведения, с квантовыми группами. Вычислена размерность Крулля, изучена группа автоморфизмов, алгебра Ли дифференцирований, тело частных. Значительная часть обзора посвящена близкой автору теме строения проективных модулей и групп обратимых матриц над квантовыми многочленами. [38]
Закон ассоциативности заменяется неуклюжей коммутативной диаграммой и называется законом коассоциатнвности. Читатель может нарисовать такую диаграмму самостоятельно или посмотреть в любой книге по квантовым группам. [39]
По-прежнему рассматривается система, состоящая из N одинаковых и неразличимых частиц, но на этот раз фермионов. Как и раньше, считаем N const и Е const (6.57); частицы распределены по квантовым группам с постоянной энергией г t и имеющим g - кратное вырождение. Однако для фермионов возможны только антисимметричные состояния, а это ведет к так называемому принципу Паули. В пределах рассматриваемой задачи он означает, что не более одной частицы может находиться на данном подуровне квантовой группы. [40]
По-прежнему рассматривается система, состоящая из N одинаковых и неразличимых частиц, но на этот раз фермионов. Как и раньше, считаем N const и Е const (6.57); частицы распределены по квантовым группам с постоянной энергией е t и имеющим - кратное вырождение. Однако для фермионов возможны только антисимметричные состояния, а это ведет к так называемому принципу Паули. В пределах рассматриваемой задачи он означает, что не более одной частицы может находиться на данном подуровне квантовой группы. [41]
Тот факт, что мы пришли ( используя наш альтернативный подход к вращениям) непосредственно к реализации кватернионной группы, неудивителен ввиду существующей абстрактно тесной связи между этими дг. Следует, однако, подчеркнуть, что мы достиг, ш на основе понятия поворота геометрической реализации квантовой группы вращений, а это означает, что геометрическая реализация была достигнута не только для кватернионной группы, но также для всех единичных кватернионов. [42]
Элементы подгрупп В, следующие за медью, серебром и золотом, обладают некоторыми интересными свойствами. Мы уже видели, чти последние элементы обладают валентностью большей, чем единица - групповой валентностью, причем используются электроны предпоследней квантовой группы. Некоторые из элементов, которые мы намерены сейчас рассмотреть, обладают совершенно другими свойствами. У этих элементов имеются пары s - элеь. Наличие инертных пар у тяжелых элементов подгрупп В обусловливает в некоторых соединениях сходство этих элементов с элементами, стоящими в периодической системе на два места выше. [43]
Формулы простейших молекулярных гидридов ( кроме гидридов бора, представляющих исключение) имеют вид АН8 v, где N обозначает номер группы периодической системы. Образование 8 - Л связей приводит к группе, состоящей из восьми электронов, которые в элементах первого короткого периода заполняют вторую квантовую группу. [44]
Фаддеева и его школы в результате квантования обратной задачи рассеяния ( см. [ FRT ]), приведшей к появления квантового уравнения Янга-Бакстера. Алгебраическая теория квантовых групп развивалась Владимиром Дринфельдом, который ввел понятие квазшпреугольных квантовых групп, связывающих квантовую теорию с теорией узлов посредством уравнения Янга-Бакстера. Ниже представлен лишь набросок, в основном поясняющий связь с теорией инвариантов узлов. [45]