Cтраница 4
Итак, квантовые группы возникают парами. A ( G) - алгебра C [ G ] комплекснозначных функций на G с обыкновенным умножением), двойственная алгебра - 4 ( G) тоже отождествляется с C [ G ], но с конволютив-ным умножением. В частности, если Сабелева, двойственность квантовых групп совпадает с двойственностью Понтрягина для абелевых групп. [46]
Существует ли связь с характеристическими пучками Люстига или с квантовыми группами. [47]
Иными словами, рассматриваются матрицы как бы автоморфизмов квантованной плоскости. Тогда из предположения, что а, Ь, с и d коммутируют с х и у, вытекают коммутационные соотношения. Таким образом мы получаем чрезвычайно наглядное выражение того, что квантовая группа, не будучи группой, тем не менее является описанием симметрии нового вида. [48]
Фаддеева и его школы в результате квантования обратной задачи рассеяния ( см. [ FRT ]), приведшей к появления квантового уравнения Янга-Бакстера. Алгебраическая теория квантовых групп развивалась Владимиром Дринфельдом, который ввел понятие квазшпреугольных квантовых групп, связывающих квантовую теорию с теорией узлов посредством уравнения Янга-Бакстера. Ниже представлен лишь набросок, в основном поясняющий связь с теорией инвариантов узлов. [49]
Однако эта процедура не задает квантование группы или алгебры Ли как объекта, задающего симметрию квантуемой физической системы. Судя по некоторым примерам, это - скорее некоторая специальная дискретизация системы, а не квантование в том виде, в каком этот термин обычно употребляется в анализе. Более того, некоторые нетривиальные д-дефор-мации анализа восходят к 19-ому веку. Но термин квантовая группа очень привлекателен и придает этому предмету возможно несколько обманчивый внешний вид, вызывающий восхищение. Один первоклассный физик-теоретик, который сам открыл много нетривиальных решений уравнения Янга-Бакстера, говорил автору в конце 1980 - х годов, что он не знает, что означает квантовая группа, но звучит это очень привлекательно. [50]