Cтраница 3
Следует отметить, что область применимости уравнения Фоккера-Планка не ограничивается теорией брауновского движения или разреженного газа тяжелых молекул в среде легких молекул. [31]
Особое место в обосновании молекулярно-кинетической теорш занимает так называемое броуновское ( правильнее брауновское движение - движение взвешенных частиц вещества в жидкостях i газах. Брауно ( 1827 г., Англия) и известно учащимся из курса средней школь; Подробнее оно будет рассмотрено в § 36, здесь же только напомнил. [32]
IV мы отмечали, что взвешенные в жидкости или газе брауновские частицы совершают брауновское движение двух типов: трансляционное и вращательное. [33]
Позже появились работы физиков Эйнштейна, Смолуховского, Фоккера и Планка по теории брауновского движения, фактически сводящиеся к исследованию специального класса случайных процессов. Примерно в то же время Колмогоровым была развита общая теория очень важного для приложений класса марковских случайных процессов, а Хинчин [213] заложил основы теории стационарных случайных процессов. [34]
К моему удивлению п удовольствию, я убедился, что при таком понимании брауновского движения его формальная теория может быть доведена до высокой степени совершенства и изящества. В рамках этой теории мне удалось подтвердить замечание Перрена, показав, что, за исключением множества случаев, имеющих суммарную вероятность нуль, все траектории брауновского движения являются непрерывными нигде не дифференцируемыми кривыми. [35]
В 1877 г. Дельсо впервые высказал мнение, в настоящее время общепринятое, что брауновское движение обязано своим происхождением ударам молекул жидкости о частицы. Эта же мысль была высказана Карбонеллем. [36]
Уравнение вида ( 2.181 а) впервые было в 1908 г. предложено Ланжевеном для описания брауновского движения; поэтому оно часто называется уравнением Ланжевена. На малую частицу, погруженную в жидкость, окружающая среда действует двояким образом: во-первых, она создает сопротивление движению, проявляющееся в виде тормозящей силы вязкого трения, равной - шУ ( t), где Y ( t) - скорость частицы, a w - коэффициент, пропорциональный вязкости [ л ( для сферической частицы радиуса г он равен бяг); во-вторых, неупорядоченные пульсации числа столкновений частицы с молекулами среды за единицу времени проявляются как дополнительная чисто случайная сила Х ( t) ( имеющая белый спектр / ( со) / 0 - ср. [37]
Обсудим кратко выведенные выше уравнения Фоккера-Планка ( вращательной диффузии), некоторые их решения и отличия вращательного брауновского движения от трансляционного. [38]
Дело в том, что это время ограничивает снизу тот временной масштаб, в котором мы будем описывать брауновское движение частицы. При меньших временах описание движения частицы представляет собой исключительно динамическую ( механическую) задачу о взаимодействии ( столкновения) тяжелой частицы и молекул. [39]
Идеи, использовавшиеся в этих исследованиях, очень тесно примыкали к тем, которые я уже применял при изучении брауновского движения. В Частности, мне снова пригодились непрерывные кривые, являющиеся столь извилистыми, что ни в какой их точке нельзя сказать, какое же они имеют направление. При обсуждении вопроса о брау-новском движении я отмечал, что ранее такие кривые были в науке на положении пасынков: они рассматривались как совершенно неестественные патологические объекты, выдуманные математиками от чрезмерной абстрактности и не имеющие никакого отношения к реальному физическому миру. Мне же удалось построить физическую по существу теорию, в которой такие кривые играли основную роль. [40]
Однако более подробное рассмотрение брауновского движения осциллятора мы отложим до следующей главы, где изложены основы общего подхода к описанию брауновского движения и соответствующий математический аппарат. [41]
Любопытно отметить, что мои исследования по операционному исчислению в какой-то степени были связаны с моими ранними работами по теории брауновского движения. Обычный гармонический анализ мог хорошо описать результаты исследования свечения паров натрия, но не результаты исследования солнечного света. В главе 1 я уже рассказывал про свои исследования математики и физики дискретных процессов, в частности брауновского движения частицы в газе, возникающего в результате отдельных столкновений с молекулами, или, что то ж самое, дробового эффекта электрического тока, связанного с тем, что ток представляет собой поток отдельных электронов. Мне удалось обнаружить, что с помощью процессов брауновского движения или дробового эффекта нетрудно построить процессы с непрерывным спектром; в частности, для этого достаточно подключить генератор тока, подверженного дробовому эффекту, к какому-либо колебательному контуру. [42]
Любопытно, что в период написания своей первой статьи на эту тему Эйнштейн, по-видимому, даже не слышал про существование брауновского движения ( уже широко известного в ту эпоху); он фактически сам предсказал его существование исходя из теоретических соображений и правильно описал все его основные свойства. [43]
Выполненные мной во время войны работы по фильтрации и прогнозированию временных рядов представляли собой непосредственное продолжение моих ранних работ по теории брауновского движения и изучению беспорядочных колебаний во времени при помощи аппарата обобщенного гармонического анализа. [44]
Такое построение курса обусловлено также тем, что метод неравновесных функций распределения комплексов частиц является перенесением в статистическую физику идей стохастической теории брауновского движения. В дополнение к феноменологической теории строгий микроскопический метод Боголюбова позволяет выразить описывающие систему параметры через молекулярные характеристики. [45]