Cтраница 3
Однако в общем случае нам ничего не известно об общей природе этих интегралов. В частности, мы не знаем, являются ли переменные действия для произвольной системы изолирующими или не являются. Бели они не являются изолирующими, то траектория не ограничивается ( N - 1) - мерной областью, а плотно заполняет участок большей размерности. [31]
Поэтому даже и для тех фазовых кривых, которые не лежат на торах, переменные действия мало меняются в течение бесконечного интервала времени: фазовая кривая, начавшаяся в щели между двумя инвариантными торами, не может из нее выйти. [32]
Для этих квантовых условий метод Делоне изучения многопериодных систем был чрезвычайно удобен. Вторая группа констант-фазовые углы б -, которые появляются при интегрировании второй группы канонических уравнений в представлении Делоне [ см. (8.4.23) ], оставлялись при этом произвольными; первая же группа констант, переменные действия, квантовалась. [33]
В предыдущем параграфе мы убедились в том, что вполне возможно выбрать совокупность канонически сопряженных переменных, соблюдая следующие требования: а) гамильтониан системы является функцией только половины переменных, и б) для периодических систем, уравнение Гамильтона - Я коби которых может быть решено методом разделения переменных, можно выбрать угловые переменные таким образом, что они изменяются за период на единицу. Причины, по которым вводятся переменные такого вида, что гамильтониан зависит лишь от половины из них, более или менее очевидны, но причины введения переменных действие - угол значительно хитрее, И действительно, эти переменные оказались на авансцене лишь с возникновением старой квантовой механики, и причина возникшего к ним интереса была связана с тем, что переменные действия оказались так называемыми адиабатическими инвариантами. [34]
Если параметр в гамильтониане меняется настолько медленно, что в его фурье-разложений оказываются только частоты ниже определенного значения, скажем v0, которое меньше, чем любая частота, соответствующая боров-ским условиям для квантовых переходов, то га время изменения параметра никакие квантовые переходы происходить не могут. Это в свою очередь означает, что по мере медленного изменения параметров, происходящего в гамильтониане, не могут изменяться квантовые числа; тем более не могут изменяться квантованные величины. Поскольку переменные действия оказались адиабатическими инвариантами, они могут служить подходящими объектами для квантования; фактически именно для них были предложены правила квантования Вильсона - Зом-мерфельда. [35]
Если параметр в гамильтониане меняется настолько медленно, что в его фурье-разложении оказываются только частоты ниже определенного значения, скажем v0, которое меньше, чем любая частота, соответствующая боров-ским условиям для квантовых переходов, то за время изменения параметра никакие квантовые переходы происходить не могут. Это в свою очередь означает, что по мере медленного изменения параметров, происходящего в гамильтониане, не могут изменяться квантовые числа; тем более не могут изменяться квантованные величины. Поскольку переменные действия оказались адиабатическими инвариантами, они могут служить подходящими объектами для квантования; фактически именно для них были предложены правила квантования Вильсона - Зом-мерфельда. [36]
Переменные действия могут быть использованы для ряда важных приложений. Во-первых, квазиклассическое квантование требует знания именно переменных действия. Во-вторых, переменные действия играют важную роль в гамиль-тоновой теории медленных модуляций - полевых аналогах метода усреднения Боголюбова и др. типа Уизема или нелинейного аналога метода ВКБ. [37]
Среди всех возможных обобщенных координат и импульсов особый интерес представляют тик называемые переменные действия / и угловые переменные ак [ 80, 2291; первые играют роль импульсов, вторые - роль координат. Оказывается, что наиболее простое соответствие между классическим и квантовым описанием устанавливается в том случае, если динамическая задача формулируется в угловых координатах, которые играют роль координат и при квантовом описании. Что касается переменных действия, то при классическом описании они отвечают постоянным обобщенным импульсам, а при квантовом описании - пропорциональны числам пк, определяющим квантовое состояние системы. [38]
Другими словами, в фазовом пространстве при данных значениях энергии Е имеются островки регулярного ( 1) и нерегулярного ( 2) поведения системы. Для случайной траектории 2 переменные действия Jt уже не являются интегралами движения. Если энергия Е достаточно велика, то движение в модели Эно - Эйлеса становится инфинитным. [39]
Траектория такого движения в фазовом пространстве имеет форму эллипса, который с помощью соответствующего преобразования к полярным координатам V7 и в переходит в окружность. Сравнение выражений (6.5) - (6.7) и (6.13) показывает, что в переменных действие - угол уравнения движения любой интегрируемой системы с п степенями свободы имеют практически такой же вид, как для п несвязанных гармонических осцилляторов. Единственное отличие состоит в том, что в общем случае интегрируемой системы частоты to, являются функциями переменных действия /, в то время как для гармонических осцилляторов со, от /, не зависит. [40]
В предыдущем параграфе мы убедились в том, что вполне возможно выбрать совокупность канонически сопряженных переменных, соблюдая следующие требования: а) гамильтониан системы является функцией только половины переменных, и б) для периодических систем, уравнение Гамильтона - Я коби которых может быть решено методом разделения переменных, можно выбрать угловые переменные таким образом, что они изменяются за период на единицу. Причины, по которым вводятся переменные такого вида, что гамильтониан зависит лишь от половины из них, более или менее очевидны, но причины введения переменных действие - угол значительно хитрее. II действительно, эти переменные оказались на авансцене лишь с возникновением старой квантовой механики, и причина возникшего к ним интереса была связана с тем, что переменные действия оказались так называемыми адиабатическими инвариантами. [41]
Работая в русле идей указанного подхода, мы в данной книге ставим перед собой следующие задачи. Центральная задача состоит в разработке ряда основных понятий психологической теории человеческого действия, таких как выбор, осознание и реализация цели действия, виды и формы выполнения психологических операций, морфологическая информация первого и второго рода, образ предмета, предметный образ и других. Актуальность этой задачи обусловлена прежде всего необходимостью пересмотреть существующие в современной когнитивной психологии представления о психологических операциях как системах репрезентация плюс процесс, об информации, понимаемой квазилингвистически или теоретико-информационно, представления о координации и регуляции переменных действия и другие, поскольку они являются неадекватными для решения основных проблем теории образов восприятия и воображения ( предметность, пространственность, осознанность образов) и для объяснения результатов экспериментальных исследований порождения и мысленного преобразования образов. [42]
При п 1 фазовое пространство является четырехмерным, энергетическая гиперповерхность ( или пространство уровня энергии) Н Е - трехмерной, а инвариантные торы - двумерными. Фазовая траектория, начавшаяся в области такого разрушенного тора, т.е. в щели между двумя инвариантными торами, остается запертой здесь навсегда. Соответствующие переменные действия практически не меняются и при движении остаются вблизи своих начальных значений. [43]
Поэтому данный метод носит название метода обратной задачи рассеяния. Здесь мы опускаем постановку и решение обратной задачи. После получения соотношения (2.79) остальные шаги тривиальны. Заметим, что гамильтониан зависит только от переменных действия, а не от углов, как и требовалось. Поэтому он разделяется на сумму гамильтонианов свободных релятивистских частиц. Первый член соответствует вкладу плосковолновых решений. Вспомним, что в пределе слабого поля ( малых) данная система становится системой Клейна-Гордона ( уравнение (2.62)), поэтому она допускает плоские волны вида 0 exp [ i ( рх - У р2 m2t) ] с произвольной малой амплитудой 0, распространяющиеся по всему пространству. Эта часть системы не отвечает солитонам или уединенным волнам. Поэтому индекс а в (2.79) нумерует отдельные солитоны и антисолитоны с импульсами Ра. Наконец, индекс b в последнем члене нумерует дублеты с импульсами Ръ и массами MD ( аь), которые в системе покоя равны их энергиям, зависящим от периода внутреннего движения. Доказательство того, что эти соли-тонные, антисолитонные и дублетные решения действительно являются солитонами, заключается в разделении гамильтониана на ряд членов, соответствующих свободным частицам, каждый из которых связан только либо с плоской волной, либо с солитоном ( или антисолитоном), либо с дублетом. [44]
УМН, 32, 6 ( 1977), 5 66; см. также его диссертацию, МГУ, 1973) доказал, что для почти всякой невозмущенной функции Гамильтона Но ( 1 ] существуют положительные числа о, и Ь, такие, что средняя скорость изменения переменных действия / в возмущенной системе за время Т с. [45]