Cтраница 4
В этой главе мы введем функцию Гамильтона - Якоби, которая является решением дифференциального уравнения в частных производных, называемого уравнением Гамильтона - Якоби. Функция Гамильтона - Якоби ведет к гамильтониану, содержащему только одну совокупность канонических переменных. Находятся решения уравнения Гамильтона - Якоби для нескольких простых случаев, в том числе для задачи Кеплера. Во втором параграфе этой главы вводятся так называемые переменные действие - угол. Их значение видно из того, что переменные действия представляют собой адиабатические инварианты. Адиабатические инварианты играли существенную роль в старой квантовой теории и имеют немалое значение в теории ускорителей. Они кратко рассмотрены в последнем параграфе этой главы. [46]
В этой главе мы введем функцию Гамильтона - Якоби, которая является решением дифференциального уравнения в частных производных, называемого уравнением Гамильтона - Якоби. Функция Гамильтона - Якоби ведет к гамильтониану, содержащему только одну совокупность канонических переменных. Находятся решения уравнения Гамильтона - Якоби для нескольких простых случаев, в том числе для задачи Кеплера. Во втором параграфе этой главы вводятся так называемые переменные действие-угол. Их значение видно из того, что переменные действия представляют собой адиабатические инварианты. Адиабатические инварианты играли существенную роль в старой квантовой теории и имеют немалое значение в теории ускорителей. Они кратко рассмотрены в последнем параграфе этой главы. [47]
Если мы вставим их в формулы для jpr, jp9, д, то мы получим из, гл. II, § 5, ( 28) функцию F ( г, &, р 7 5 JG J), из которой получается, согласно гл. Так как выражение энергии JE через эти величины определяется формулой ( 13), то мы получаем из гл. Следовательно, между ними имеют место два различные соотношения вида гл. Следовательно, наша система двукратно вырождена; вследствие этого, так как она имеет три степени свободы, то она в точности однократно периодична. II, § 6, ( 12), ( 13а) можно ввести новые угловые переменные и переменные действия таким образом, чтобы из первых: и /, /, г. 2 только и / было бы собственной угловой переменной. [48]
Начиная с работ Гарднера, Захарова и Фаддеева 1971 года [ l ] стало ясно, что фундаментальные нелинейные эволюционные системы теории солитонов, интегрируемые методом обратной задачи, являются теоретико-полевыми вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами. В теории периодических и квазипериодических решений ведущую роль играет семейство ( оказывающееся всюду плотным) конечномерных подмногообразий так называемых конечно-зонных решений ( см. [ з ]) в функциональном пространстве полей. На этих конечнозонных фазовых многообразиях динамика системы порождает конечномерные вполне интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы. Интересно, что поверхность уровня набора коммутирующих интегралов после надлежащей компактификации образуют абелев комплексный тор, являющийся многообразием Якоби некоторой гиперэллиптической римановой поверхности. Само решение в конечном счете записывается в виде выражения через 0-функции этого тора с линейной зависимостью от координаты X и времени Т под аргументом. Линейные координаты на торе Якоби представляют собой ( комп-лексифицированные) углы из теоремы Лиувилля. Выделение вещественного тора из комплексного требует отдельного обсуждения. Соответствующие углам канонически сопряженные переменные действия, во-первых, являются предметом только вещественной теории и, во-вторых, не описываются на языке 0 - функции; это важное обстоятельство порождает круг задач, рассматриваемый в данной работе. Лакса имеет порядок больше двух, или для матричных систем даже первого порядка, если матричная размерность больше двух. [49]