Версальная деформация

Cтраница 4

Деформации ростков диффеоморфизмов с парой комплексно сопряженных мультипликаторов имеют топологический инвариант, пробегающий единичную окружность ( аргумент мультипликатора, по модулю равного1 единице), и даже в классе ростков с парой мультипликаторов e ia ( to фиксировано) конечно параметрические версальные деформации не построены и, видимо, не существуют. [46]

Если росток TJ fe - определен, то обе его г-парамет-рические версальные деформации являются Л - транс-версальными. Следовательно, эти две деформации изоморфны. Если ( г, f) - версальная деформация наименьшей размерности, то как ( r, f), так и ( г. f) - f - - - const являются / s - трансверсальными. [47]

Мы начинаем с некоторого семейства F: R X Rr - R ( где г 2 или 3), бифуркационное или дискриминантное множество которого нас интересует. Затем мы решаем, является ли семейство F версальной деформацией для функции f в точке t0, находя dF / dxt и используя матричный критерий 6.10 п или 6.10. Если условия критерия выполнены, то локально ( вблизи точки х0) бифуркационное множество или дискриминантное множество диффеоморфно стандартной модели, взятой для тех значений г и k, о которых идет речь. Эти модели перечислены в гл. [48]

Однако вовсе не эта универсальность является для нас важнейшей чертой таких деформаций. Нас больше интересуют два других свойства таких семейств. Во-первых, почти все семейства функций являются универсальными деформациями ( точнее, версальными деформациями) каждой функции семейства. Поэтому естественно ожидать, что такие деформации возникают практически всюду, где изучаются семейства функций. [49]

Для дискрими-нантных множеств, так же как и для бифуркационных, существует теорема, описывающая их локальную структуру, и нам бы хотелось иметь возможность применять ее ко всем семействам из гл. Здесь уместнее несколько иное понятие вер-сальной деформации, и, конечно, главная задача - научиться распознавать и использовать эти версальные деформации, когда они появляются. [50]

Другими словами, расслоение пространства всех векторных полей на орбиты действия группы Diff не является главным. В работе [2] ( см. также [3] и анонс в [4]) для указанного расслоения вычислена соответствующая действию группы Diff на пространстве векторных полей связность, названная там же орбитальной связностью. Там же сформулирована гипотеза, что с учетом орбитальной связности особые точки векторных полей на плоскости ( за исключением случаев коразмерности оо в пространстве гладких векторных полей) допускают конечнопараметрическую версальную деформацию. [51]

Гигантская крыса с Суматры. [52]

Такое появление модуля не просто затрудняет всякие попытки обобщить методы, изложенные ранее в этой книге, - оно делает их совершенно безнадежными. Рассмотрим вкратце ключевые шаги в наших приложениях теории особенностей к геометрии. Это: ( i) перечисление особенностей; ( и) доказательство единственности деформаций; ( iii) построение моделей геометрии нереальной деформации; ( iv) доказательство соответствующей теоремы трансверсальности, показывающей, что семейство, которое описывает изучаемое геометрическое явление, представляет собой версальную деформацию всех своих функций; ( v) использование построенных на шаге ( iii) моделей для описания интересующей нас геометрии. [53]

Страницы: 1 2 3 4