Cтраница 3
Признавая эвристические достоинства метода неделимых и считая его вполне доказательным, Торричелли называл его поистине царским путем среди математических терниев и напоминал, что открыт он был Кавальери. [31]
Сначала, чтобы получить площадь, он складывал отрезки, но когда Торрнчеллп показал, что таким способом можно доказать, что любой треугольник делится высотой на две равновеликие части, Кавальери заменил отрезки нитями, то есть он превратил отрезки в площадн весьма малой ширины. [32]
Он различает три ступени, а именно евклидову геометрию, аполлониеву, которая была, как он считает, продолжена Виетом, Декартом и Слюзом, и архимедову, которой занимались Гульдин и Кавальери. Он обсуждает три недостатка математики, которые до его времени делали невозможным квадрирование поверхностей, ограниченных кривыми линиями, и в заключение приходит к применению характеристического треугольника. Более развитые соображения такого рода Лейбниц излагает осенью 1674 г. ( Сс 793, 794) - здесь он делает различие уже только между апол-лониевой и архимедовой геометрией, а затем с начала 1676 ( Сс 1224 А, С - Н) до середины 1676 г. ( Сс 1224 В), причем более подробно рассматриваются новые результаты Гульдина, Кавальери, Григория де Сен-Венбана, Ферма, Валлиса и других и обсуждается польза геометрии. [33]
Штейдель [47] и Паули [48], изучавшие сочетание аденина, нашли что в условиях, описанных Бурианом [46], аденин в реакцию с диазотированной сульфаниловой кислотой не вступает. Кавальери и Бендих [49] сообщили, что не удалось получить 8-амино - 6-оксипурин и 6 8-диаминопурин сочетанием аденина или гипоксантина с хлористым 2 4-дихлорфенилдиазонием и последующим восстановлением гидросульфитом натрия. Робине [50] также не смог получить продуктов сочетания аденина и гипоксантина с солями диазония. [34]
Кавальери дал новый вывод площади параболич. Кавальери дал аналогичные теоремы для высших степеней до девятой включительно, приложив их, в частности ( п4), к вычислению объема тела вращения параболич. [35]
Кавальери и, кроме того, были изложены существенно проще и короче. [36]
Штейдель [47] и Паули [48], изучавшие сочетание аденина, нашли что в условиях, описанных Бурианом [46], аденин в реакцию с диазотированной сульфаниловой кислотой не вступает. Кавальери и Бендих [49] сообщили, что не удалось получить 8-амино - 6-оксипурин и 6 8-диаминопурин сочетанием аденина или гипоксантина с хлористым 2 4-дихлорфенилдиазонием и последующим восстановлением гидросульфитом натрия. Робине [50] также не смог получить продуктов сочетания аденина и гипоксантина с солями диазония. [37]
Если Кавальери разлагал величины п измерений на элементарные части п - 1 порядка, то у Торричелли наметилось иное стремление: толковать неделимые как величины того же порядка. [38]
Методы Валлиса, изложенные в его Арифметике бесконечных ( 1655), развивались вслед за методом неделимых Кавальери. Вал-лис говорит о Кавальери как о своем предшественнике и часто пользуется терминологией метода неделимых. Однако Валлис продвинулся значительно дальше Кавальери. Валлиса также впервые встречается в четком виде арифметизированный предельный переход. [39]
Опираясь на работы Архимеда и развивая заложенные в них идеи, западноевропейские ученые ъ последующее тридцатилетие ( 1635 - 1665) выработали общий метод квадратуры кривых и общий метод построения касательной. Ученики Галилея Торричелли и Кавальери, французские математики Ферма и Паскаль, английский математик Валлис, голландский физик и математик Гюйгенс и многие другие менее известные ученые разработали эти методы. [40]
В своем учении о неделимых Кавальери колеблется между дискретным и сплошным покрытием фигур своими неделимыми2, поэтому он часто говорит лишь об отношении площадей и объемов фигур. Принцип, названный его именем, Кавальери выражает не так, как в современных руководствах, а следующим образом: если линии в двух площадях или плоасости в двух телах будут всегда в одном отношении, то в том же отношении будут в первом случае площади, во втором - объемы. [41]
Далее, в Новое время именно на основе соображений эвристического характера в математике начинают формироваться новые схемы рассуждений, становящиеся в итоге полноправными математическими методами, что и отмечается в историко-математической литературе: Решая конкретные задачи, они ( математики - прим. Изучая работы творцов нового анализа от Кеплера и Кавальери до Ньютона и Лейбница включительно, можно увидеть, как не очень ясные индуктивные приемы превращаются с одной стороны в некую общую науку - эвристику ( Декарт, Лейбниц), ас другой стороны становятся мощными и верными методами математики ( например, математическая индукция, рекуррентные соотношения, интерполяция) ( История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Не очень ясные индуктивные приемы с учетом концепции неявного знания, то есть в контексте излагаемого подхода, правомерно интерпретировать как эвристические соображения полуинтуитивного характера, необходимо содержащие неявные элементы математического знания. В целом приведенный общий вывод правомерно интерпретировать как неявно выраженную идею эволюции математических методов от неявной в целом эвристики до строгой теории, идея которой высказывалась здесь ранее. [42]
Однако, несмотря на то что Паскаль пользовался термином неделимые, он их понимает не так, как Кавальери. [43]
Кавальери хорошо знал старинные софизмы бесконечного. Его учитель Галилей предлагал вовсе исключить бесконечность из математических рассуждений, его противник Гуль-дин 3, держась традиционной точки зрения, возражал Кавальери, что совокупности бесконечного числа членов не могут быть сравниваемы между собой. [44]
Многие работы, особенно на первых порах, были связаны с изданием классиков математики, как вступительные статьи М. Я. Выгодского к Стереометрии винных бочек Кеплера ( 1935) или С. Я. Лурье к так называемой Геометрии неделимых Кавальери ( 1940) и целый ряд других. [45]