Cтраница 4
Кавальери переходит к пределу, полагает га оо и говорит о сумме всех ординат первой кривой, которая находится к аналогичной сумме для второй кривой в отношении, строго равном отношению площадей; точно так же и для объемов; и это рассуждение было в дальнейшем повсеместно принято даже такими авторами, как Ферма, которые имели наиболее ясное представление о кроющихся в нем фактах. Правда, позже многие математики, как, например, Роберваль ( Villa) и Паскаль ( ХПЬ), предпочитают под этими ординатами кривой, из которых составляется сумма, понимать не отрезки прямой, как у Кавальери, а прямоугольники с одинаковой бесконечно малой высотой, что само по себе не является таким уж большим шагом вперед с точки зрения строгости ( что бы ни говорил об этом Роберваль), однако, может быть, препятствует воображению слишком легко сходить с правильного пути. Во всяком случае в той мере, в какой речь идет лишь об отношениях, выражение сумма всех ординат кривой у / ( х) или сокращенно все ординаты кривой в конечном счете, как, например, хорошо показано в работах Паскаля, представляет собой точный эквивалент интеграла у dx Лейбница. [46]
Здесь совершен переход к новой декартовой системе координат ( х, у), повернутой относительно прежней ( х, у) на угол р, так что линия интегрирования становится параллельной оси у а х р ( см. рис. В. Попутно нелишне отметить, что далеким предшественником прямого преобразования Радона ( В. Кавальери, фактически представляющий собой интуитивно построенный алгоритм вычисления площади криволинейной фигуры по сумме длин параллельных отрезков, ее пересекающих. [47]
Ферма о максимумах и минимумах и разыскании касательных к кривым уже содержат в себе, по существу, приемы дифференциального исчисления, но самые эти приемы еще не выделены и не развиты, и слова производная или дифференциал остаются еще не произнесенными. Другим источником анализа бесконечно малых является развитый И. Кавальери ( 1635) метод неделимых, примененный ими к определению объемов тел вращения и ряду других задач. В этом методе действительная принципиальная новизна основных понятий анализа бесконечно малых представляется в мистич. Неудивительно поэтому, что приемы И. Гульдина, предпочитавшего пользоваться классич. Так, в геометрия, форме были, по существу, созданы начала дифференциального и интегрального исчисления. [48]