Cтраница 2
В категории множеств & любое непустое множество N является, очевидно, свободным объектом с множеством / Ч свободных образующих; В категории множеств с отмеченной точкой Q любое множество М, состоящее из более чем одного элемента, является свободным объектом, множество свободных образующих которого состоит из всех элементов множества М, кроме отмеченного Ок. Как известно, [5], в любом многообразии универсальных алгебр существуют свободные в этом многообразии алгебры с системой свободных образующих любой мощности. Эти свободные алгебры являются свободными объектами в соответствующем многообразии универсальных алгебр. [16]
Если для категории множеств в качестве функтора F взять свободную абелеву группу с элементами данного множества в качестве образующих ( группу цепей), то мы получим обычные гомологии симплици-ального множества с коэффициентами в Z и потому в случае стягиваемости симплициального множества резольвенту группы Z. Разумеется, эта схема построения резольвенты группы Z совпадает в силу предложения 1.2 с изложенной выше схемой построения стандартной резольвенты группы Z как тривиального ZfGj-модуля. [17]
Привести пример категории структуризованных множеств, в которой существует мономорфизм, не являющийся взаимно однозначным отображением. [18]
В таких категориях структуризован-ных множеств, как, например, категории множеств, топологических пространств, однотипных универсальных алгебр, в частности групп, колец, мономорфизмы совпадают с вложениями. В любой категории К справедливы утверждения: если в равенстве оХ ц морфизмы а и X - мономорфизмы, то и ц-мономорфизм, и если fi - мономорфизм, то и а-мономорфизм. Из первого утверждения следует, что класс всех объектов Ob да и класс всех мономорфизмов Моп Я категории да образуют подкатегорию, которую мы также будем обозначать Моп да. [19]
Категория множеств, категория множеств с отмеченной точкой, категория групп являются бикатегориями с единственной бикатегорной структурой. [20]
Таким образом, категория множеств может быть описана как вполне разделимый топос, в котором выполнена аксиома аксиома выбора и имеется объект натуральных чисел. [21]
Декартово замкнутыми являются: категории множеств, категория малых категорий, категория пучков множеств над топологич. [22]
Доказать, что в категории множеств с отмеченной точкой ( g ( см. пример 1в § 1) каждый мономорфизм нормален. [23]
Категория ( 55 является категорией структуризованных множеств с пустой структурой. [24]
Изложенную теорию авторы применяют к категории множеств с отмеченной точкой, к категории топологических пространств с отмеченной точкой, к категории групп и к другим примерам. В частности, в категории групп группа тогда и только тогда допускает композицию с аксиомой I, когда она абелева. Двойственно характеризуются свободные группы. [25]
Рассмотрим реализацию обратного образа в категории множеств. Пусть даны отображения множеств: /: А - С и g: В - - С. [26]
F г есть эпиморфизм в категории множеств. [27]
Пусть задана произвольная подкатегория С категории множеств. [28]
В случае, когда является категорией структуризованных множеств, точки множества Xп наз. [29]
Поскольку оба полученных уравнителя рассматриваются в категории множеств и поскольку Ф является биекцией на втором и третьем члене, Ф является биекцией и на первом члене. [30]