Cтраница 4
Этот функтор называется пренебрегающим функтором из категории групп в категорию множеств. [46]
Посмотрим, что представляют собой нормальные мономорфизм в некоторых категориях сгруктуризованных множеств с нулевыми морфизмами. Пусть И - многообразие универсальных алгебр, каждая из которых обладает нулевой одноэлементной подалгеброй. Ес ли У: А - В - морфизм в категории ЗИ, то, как легко пров рить, полный прообраз У 1 ( о) при гомоморфизме нулевой п алгебры - [ о j алгебры Е является подалгеброй алгебры А; эта подалгебра ( 0) называется ядром гомоморфизма Предложение 4.9. Всякий мономорфизм [ U - A-& в категории. С алгебры g, являющая ] ся ядром некоторого гомоморфизма, является нормальный мономорфизмом. [47]
В таких категориях структуризован-ных множеств, как, например, категории множеств, топологических пространств, однотипных универсальных алгебр, в частности групп, колец, мономорфизмы совпадают с вложениями. В любой категории К справедливы утверждения: если в равенстве оХ ц морфизмы а и X - мономорфизмы, то и ц-мономорфизм, и если fi - мономорфизм, то и а-мономорфизм. Из первого утверждения следует, что класс всех объектов Ob да и класс всех мономорфизмов Моп Я категории да образуют подкатегорию, которую мы также будем обозначать Моп да. [48]
Оказалось, что в вопросах единственности весьма важно также понятие категории множества по Бэру. [49]
Описанное построение задает двуместный функтор из if X tt в категорию множеств, контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму. [50]