Cтраница 2
Две алгебры Л и В называются эквивалентными в смысле Мориты, если эквивалентны категории модулей над ними. В этом случае классы изоморфизма неразложимых Л - модулей находятся во взаимно однозначном соответствии с классами изоморфизма неразложимых В-модулей. В частности, алгебра А имеет конечный тип в том и только том случае, когда В имеет конечный тип. Таким образом, проблему определения типа алгебры А можно иногда упростить путем перехода к некоторой другой алгебре В, которая лучше поддается изучению, но в то же время эквивалентна в смысле Мориты алгебре А. [16]
В этом состоит причина формальной аналогии между теорией когомологпй с коэффициентами в пучках и теорией производных от функторов в категории модулей: в категории пучков над X достаточно инъективных объектов ( хотя, как правило, мало проективных), и поэтому можно свободно применять все соответствующие сродства гомологич. J) ( и даже как Ext ( Zx ОТ)) - Это же проливает свет и на общую природу, напр. [17]
Здесь мы сконцентрируем внимание на программных модулях, опишем также те элементы синтаксиса и семантики, которые совпадают у всех трех категорий модулей. Для начала рассмотрим распечатку 8.9, на которой изображена оболочка простейшего программного модуля. Он настолько прост, что не выполняет никаких действий. [18]
Из всех определений категорий проективных, инъективных и плоских модулей я выберу самое короткое, в терминах главных функторов, действующих в этих категориях модулей. [19]
Теорема Мориты, которую мы докажем в этой главе, как раз и утверждает, что алгебры однотипны тогда и только тогда, когда категории модулей над ними эквивалентны. Техника, которая применяется при доказательстве этой теоремы ( тензорные произведения, точные последовательности), оказывается полезной и во многих других вопросах. [20]
Многие очень яркие достижения топологии ( например, связанные с исследованием групп 1 ( 5)) основывались на той идеологии, о которой мы пытались намекнуть предшествующими построениями: что категорию 3eotu можно трактовать как в значительной степени алгебраическое понятие, что она во многом аналогична, например, категории модулей и к ее изучению можно с успехом применить алгебраическую интуицию. [21]
Заметим, что категория, двойственная аддитивной, очевидным образом аддитивна. Важнейшим примером аддитивной категории является категория модулей над кольцом R ( левых или правых) и, в частности, категория абелевых групп. Категория Кольцо R ( пример 12 из таблицы 1) также является аддитивной. [22]
Проверка существования морфизма, сопряженного данному, может представлять определенные технические трудности. Поэтому мы не можем полностью описать категорию евклидовых модулей, однако в классе всех модулей можно выделить подкласс, состоящий из таких модулей N, что каждый морфизм /: N - М в произвольный евклидов модуль М обладает сопряженным. [23]
Обратно, всякая категория Гротендпка эквивалентна нек-рой фактор-категории подходящей категории модулей. [24]
Это свойство называется точностью функтора тензорного умножения. Как и точность функтора и5, оно нарушается в категориях модулей, и это нарушение служит важным объектом изучения в гомологической алгебре: ср. [25]
Читателю следует один и только один раз в своей жизни проследить все детали до конца. Таким образом, Н есть функтор из категории комплексов в категорию градуированных модулей. [26]
К изучению банаховых алгебр можно подходить с точки зрения классического функционального анализа - меры, аменабельность, ядерность. А можно и с точке зрения гомологической алгебры; надо рассматривать категории модулей, определив правильные аналоги понятий проективности, инъективности и плоскости. Синтез этих подходов приводит к доказательству неаменабельности алгебры мер на непрерывной локально компактной группе. [27]
Разумеется, LT ( Е) не равно Endft ( r ( E)), так что мы должны рассматривать LT как единый символ. Определив подходящим образом умножение в LT ( Е), мы увидим, что LT есть функтор из категории модулей в категорию градуированных алгебр. [28]
При доказательстве замкнутости категории ОС относительно гомоморфных обрезов использовалась только замкнутость относительно подалгебр и конечных прямых произведений. Поскольку всякий модуль есть фактормодуль некоторого свобода ого мо дуля, из сказанного вытекает эквивалентность категории 01 всей категории модулей, минуя доказательство замкнутости относительно прямых произведений любых семейств объектов. [29]
Определив подходящим образом умножение в LT ( Е), мы увидим, что LT есть функтор из категории модулей в категорию градуированных алгебр. [30]