Cтраница 3
Целью работы является построение теоретико-категорных моделей вероятностных и нечетких отображений. Доказано, что наложение на выбор модели довольно слабых ограничений, необходимых для возможности построения в ней хорошей теории решения уравнений, приводит к полной подкатегории категории модулей над полукольцом С с дополнительно определенной на них невырожденной билинейной формой w, состоящей из таких модулей N, что каждый гомоморфизм р из N в полукольцо С однозначно представим в виде ( р ( х) w ( x a) для подходящего элемента а из N. По аналогии со свойством гильбертовых модулей над полем вещественных или комплексных чисел такие модули также названы гильбертовыми. Приведены примеры, показывающие, что некоторые прикладные задачи сводятся к исследованию свойств морфизмов в построенных категориях или к решению в них уравнений. [31]
Категория копериодических модулей без кручения изоморфна категории модулей - без кручения, являющихся гомоморфными образами инъектив-ных. Показано также, что каждый редуцированный модуль можно вложить в копериодический. Не оставлены без внимания и связи с топологическими вопросами. [32]
Элементы, которые можно импортировать из других модулей, - это константы, типы, переменные и процедуры. Все три категории модулей: программные, библиотечные и локальные - могут импортировать. [33]
В § 3 рассматриваются категории с инволюцией, в которых существуют конечные произведения. Доказано, что такая категория обязательно является аддитивной. Примерами аддитивных категорий являются категории модулей над полукольцами, причем при довольно слабых ограничениях на аддитивную категорию она вкладывается в подходящую категорию модулей. Показано, что на модулях, входящих в такие категории, можно определить бинарную функцию, по своим свойствам близкую к скалярному произведению, что позволяет ввести понятие сопряженного преобразования и выделить гильбертовы модули как изоморфные своим сопряженным. [34]
Категория копериодических модулей без кручения изоморфна категории модулей - без кручения, являющихся гомоморфными образами инъектив-ных. Показано также, что каждый редуцированный модуль можно вложить в копериодический. Не оставлены без внимания и связи с топологическими вопросами. [35]
Каждая компонента Fn Z-адического пучка является пучком Zlln Z-модулей. F конструктивные ( локально постоянные) этальные пучки. Имеет место естественная эквивалентность категории локально постоянных конструктивных пучков на связной схеме X и категорией модулей конечного типа над кольцом Z [ целых / - адических чисел, на к-рых непрерывно слева действует фундаментальная группа схемы X. Это показывает, что конструктивные локально постоянные пучки являются абстрактными аналогами системы локальных коэффициентов в топологии. [36]
В § 3 рассматриваются категории с инволюцией, в которых существуют конечные произведения. Доказано, что такая категория обязательно является аддитивной. Примерами аддитивных категорий являются категории модулей над полукольцами, причем при довольно слабых ограничениях на аддитивную категорию она вкладывается в подходящую категорию модулей. Показано, что на модулях, входящих в такие категории, можно определить бинарную функцию, по своим свойствам близкую к скалярному произведению, что позволяет ввести понятие сопряженного преобразования и выделить гильбертовы модули как изоморфные своим сопряженным. [37]
Модуль Л1 назовем линейно дискретным, если всякий ш-при-марный фактормодуль модуля М дискретен, линейно компактным, если всякая центрированная система смежных классов по замкнутым подмодулям имеет непустое пересечение, и, наконец локально компактным, если его фактормодуль по некоторому линейно компактному подмодулю линейно дискретен. Макдо-нальд [249] доказал теорему двойственности для локально компактных модулей, причем линейно компактные и линейно дискретные модули оказались дуальными. Выясняются условия, при которых спаривание между М и Ж невырождено. Категория линейно компактных модулей оказывается абелевой и обладает достаточным запасом проективных объектов. [38]
Рассмотрим основные элементы, из которых формируется программная модель. Их состав определяется целью построения программной модели. Основными элементами программной модели являются следующие: основные программные модули, вспомогательные программные модули, основные информационные модули и вспомогательные информационные модули. Общим для всех этих элементов является принадлежность к одной и той же категории - категории модулей. Это означает, что при хранении модуля в различных видах памяти технических средств автоматизации он размещается там как поименованное множество, для обращения к которому достаточно указания его имени. Основные достоинства модульного представления были указаны в гл. Эти достоинства в полной мере сохраняются и для программной модели. [39]
А ад коммутативной областью целостности мал в А тогда и только тогда, когда его примарные компоненты ограничены. А совпадает с пересечением его максимальных подмодулей. При некоторых дополнительных условиях сам подмодуль г ( А) также оказывается малым. Бейдлеман [75] рассматривал радикал, определяемый ка-к - пересечение максимальных подмодулей, - в категории модулей над почтикольцом. [40]
Двойственным образом определяются - инъективные объекты. Наоборот, вышеупомянутое условие лозволяет также по заданному классу объектов ф определить класс точных последовательностей, называемых р-точными. Естественно определяются замкнутые классы объектов и последовательностей, находящиеся во взаимно однозначном соответствии. Задание проективного класса позволяет обычным образом строить резольвенты и определять производные функторы. Теоремы сопряженности дают возможность по проективному классу в одной категории построить проективный класс в другой. Эта конструкция применяется для получения проективных классов в категориях модулей, а также в некоторых неабелевых категориях. Изучение категории комплексов над абелевой категорией показывает, что так называемые двойные резольвенты являются обычными резольвентами относительно некоторого проективного класса. [41]
Возвращаясь к примеру, разобранному в начале параграфа, мы можем теперь определить для любой категории операции над объектами, аналогичные сумме и произведению множеств. Для этого надо воспользоваться диаграммами ( 1) и ( 2), которые имеют смысл в любой категории. Соответствующие объекты, если они существуют, называют суммой и произведением, объектов в категориях. Например, сумма не существует в категории конечных, групп, но существует в категории всех групп. Однако если сумма или произведение существуют, то они единственны с точностью до изоморфизма - приведенное выше доказательство имеет смысл в любой категории. Мы можем сказать, что в категории модулей сумма и произведение совпадают с прямой суммой модулей; в категории групп сумма совпадает со свободным, а произведение - с прямым произведением групп; в категории коммутативных колец сумма совпадает с тензорным произведением, а произведение - с прямой суммой. В категории топологических пространств сумма и произведение совпадают с теми же операциями над множествами. X и Y, склеенные по точкам х0 и г / о. [42]
Возникновение теории категорий связано с наблюдением, что совокупности всех групп, или всех колец, или всех модулей над фиксированным кольцом, рассматриваемые вместе с соответствующими гомоморфизмами, обладают рядом общих свойств. Уже из этого перечисления видно, что язык теории категорий, в рамках которой формализуется то общее, что имеется в названных теориях, весьма емок. Выяснилось, что он оказывается полезным и во многих других самых разнообразных ситуациях. Подчеркнем, что в отличие от теории универсальных алгебр, теория категорий изучает не отдельные алгебраические ( и не только алгебраические) системы, а совокупность алгебраических систем. Как правило, на языке теории категорий можно выразить те свойства алгебраических систем, в которых не фигурируют отдельные элементы. В настоящей главе излагаются те из основных понятий теории категории, роль которых представляется особенно важной для изучения конкретных алгебраических систем. В качестве основных результатов называем характеризацию категории модулей над кольцом и доказательство эквивалентности категорий модулей над кольцом R и над кольцом матриц над ним. [43]
Возникновение теории категорий связано с наблюдением, что совокупности всех групп, или всех колец, или всех модулей над фиксированным кольцом, рассматриваемые вместе с соответствующими гомоморфизмами, обладают рядом общих свойств. Уже из этого перечисления видно, что язык теории категорий, в рамках которой формализуется то общее, что имеется в названных теориях, весьма емок. Выяснилось, что он оказывается полезным и во многих других самых разнообразных ситуациях. Подчеркнем, что в отличие от теории универсальных алгебр, теория категорий изучает не отдельные алгебраические ( и не только алгебраические) системы, а совокупность алгебраических систем. Как правило, на языке теории категорий можно выразить те свойства алгебраических систем, в которых не фигурируют отдельные элементы. В настоящей главе излагаются те из основных понятий теории категории, роль которых представляется особенно важной для изучения конкретных алгебраических систем. В качестве основных результатов называем характеризацию категории модулей над кольцом и доказательство эквивалентности категорий модулей над кольцом R и над кольцом матриц над ним. [44]
В некоммутативной геометрии есть дополнительная идеология, связанная с именем Алэна Конна. Конн тоже работает с некоммутативными кольцами и модулями над ними. Значительная часть его теории связана, скорее, с некоммутативным функциональным анализом, чем с алгебраической геометрией. Принципиален сдвиг в понимании того, как нужно связывать коммутативную геометрию с некоммутативной. Этот сдвиг связан в первую очередь с тем, что в некоммутативной геометрии возникает знаменитый эффект Мориты, которого не было в коммутативной геометрии. Именно, категория модулей над коммутативным кольцом однозначно определяет это кольцо. Категория модулей над некоммутативным кольцом вовсе это кольцо однозначно не определяет. [45]