Cтраница 4
Так как функция жз собственна ( и неограничена) на С, то мы можем параллельно перенести С в вертикальном направлении таким образом, чтобы горловая окружность катеноида оказалась в полупространстве жз 0, но тело, ограниченное рассматриваемым полукатеноидом и находящееся внутри него, не пересекалось с S. С, определенному выше, круг в плоскости 3 0, границей которого является горловая окружность катеноида. [46]
К-молярный объем жидкости, Я-газовая постоянная Предельное кол-во жидкости достигается при р р5, что отвечает плоской пов-стн раздела ( заполнение всех пор жидкостью) или пов-сти катеноида. [47]
Примеры поверхностей большего рода с тремя концами, построенные Хоффманом и Миксом, лучше иллюстрируют этот эффект ( рис. 20): ручки располагаются вдоль окружности пересечения катеноида и горизонтальной плоскости. [48]
Следствие 3.2. Пусть минимальная поверхность X: М - - R3 удовлетворяет условиям теоремы 3.1. Если п ( М ] 2, то Х ( М ] - катеноид. [49]
Напомним ( см. предложение 2.1 и замечание 2.5 ( 1)), что каждый вложенный катеноидальный конец полной вложенной минимальной поверхности конечной полной кривизны асимптотичен концу некоторого вертикального катеноида. Всегда имеется по крайней мере два таких конца, согласно предложению 2.5 ( v); см. также обсуждение после теоремы 2.4. Каждый такой конец имеет ось, определенную слагаемым порядка О ( р - 1) в (2.21) и уточненную в определении 2.7. Так как все известные примеры могут быть построены методами, аналогичными использованным в гл. Возникает вопрос, могут ли существовать поверхности, катеноидальные концы которых имеют различные оси. Если оси не компланарны, то может существовать лишь вращение. Наличие такого вращения приводит к тому, что число катеноидальных концов у поверхности четно. [50]
Следовательно, отображ: ение X не является однозначным на С - 0; в результате получаем многозначное отображение, образом которого является, как известно, линейчатая поверхность - геликоид. Отметим, что поскольку катеноид и геликоид являются локально сопряженными, они локально изометричны. Однако они не являются конгруэнтными, так как катеноид не содержит ни одной прямой. Геликоид - неплоская периодическая поверхность, поэтому его полная кривизна бесконечна. [51]
Поверхность вращения цепной линии около ее директрисы ( катеноид1)) обладает и более общим свойством, а именно: любой ее КУСОК по площади меньше, чем всякая другая поверхность, ограниченная тем же контуром. Но среди поверхностей вращения катеноид является единственной поверхностью этого класса. [52]
Поверхность вращения цепной линии около ее дирек - ipiicbi ( катеноид1)) обладает и более общим свойством, а именно: любой се КУСОК по площади меньше, чем всякая другая поверхность, ограниченная тем же контуром. Но среди поверхностей вращения катеноид является единственной поверхностью этого класса. [53]
Это непосредственно вытекает из того, что расширенное гауссово отображение этих поверхностей ( рода нуль) является конформным диффеоморфизмом на сферу. Оссерман [61,62] доказал, что катеноид и поверхность Эннепера являются единственными полными минимальными поверхностями, обладающими указанным свойством. Естественно поставить вопрос, характеризует ли индекс 1 эти поверхности среди всех полных минимальных поверхностей с конечной полной кривизной. [54]