Cтраница 1
Дзета-функция Z0 ( a) аналитически продолжается во всю - плоскость как целая функция. [1]
Дзета-функция, определенная в [1], является обратной к этой. [2]
Дзета-функции ростков мероморфных функций и диаграмма Ньютона / / Функцион. [3]
Дзета-функции - это аналитическая техника для превращения качественных утверждений в количественные. Самым принципиальным средством в этой технике являются явные формулы, восходящие к Риману, который в своем знаменитом ме-муаре открыл третье ( исторически второе) лицо простых чисел - нули дзеты. Двойственность, связывающая нули различных дзета-функций с решениями диофантовых уравнений над конечными и алгебраическими полями, находится в центре внимания современной арифметики. [4]
Исследованию дзета-функции посвящена обширная литература. [5]
Лемма 17.3. Дзета-функция zl ( a) аналитически продолжается в полуплоскость Re a - N - 1 как регулярная функция. [6]
Значит, дзета-функция над К непостоянна для бесконечного множества значений е, и поэтому она неголоморфна, так как ее степень неположительна. [7]
Если та дзета-функция отлична от 1, то значение с является атипичным на бесконечности. [8]
Проблема нулей дзета-функции, по всей видимости, упирается в вопрос об использовании свойства се представимости эйлеровым произведением за пределами области его сходимости. Известны функции, у которых разложение в ряд Дирихле и функциональное уравнение очень сходны с разложением и функциональным уравнением для C ( s), но эти функции не имеют эйлерова произведения и для них не имеет места аналог гипотезы Римана. Более того, самые глубокие результаты о распределении нулей C ( s) получены именно на этом пути. Но всякая попытка эффективного использования представления ( 1) слева от ирямой о1 иаталкивается на серьезнейшие трудности. [9]
Проблема поведения дзета-функции Эйлера - Римана в критической полосе, другими словами, когда действительная часть ее аргумента меняется в интервале ( О, 1), в особенности проблема распределения ее нулей, является одной из труднейших и интереснейших проблем математического анализа. С решением этой проблемы тесно связано также решение центральной проблемы аналитической теории чисел - распределения простых чисел в натуральном ряде и многих других теоретико-числовых проблем. В последние годы к тому же выяснилось, что функции типа дзета-функции играют существенную роль в теории собственных значений некоторых классов дифференциальных уравнений. [10]
В противоположность римановой дзета-функции мы построим сейчас функцию, для которой имеется сходное функциональное уравнение и остаются справедливыми многие теоремы этой главы, но которая не имеет эйлерова произведения. Для нее гипотеза, аналогичная гипотезе Римана, заведомо неверна. [11]
Рассмотрим теперь дзета-функцию А. [12]
Шимуры о дзета-функциях модулярных кривых. [13]
В функциональном случае дзета-функция имеет весьма простой вид, для нее гипотеза Римана доказывается. Это типичная ситуация: в функциональном случае обычно задачи решаются проще, чем в числовом. [14]
Это приводит к дзета-функции, мероморфной на всей комплексной плоскости. [15]