Cтраница 3
Для отыскания области устойчивости достаточно заметить, что точка а Р 0 соответствует квазиполиному, имеющему один корень с положительной действительной частью. [31]
Справедливость теоремы III следует из того, что при достаточно малом тт все корни квазиполинома гр ( z), кроме одного, будут иметь отрицательную действительную часть, так как они или будут близки к корням полинома ф ( з) с отрицательной действительной частью, или их действительная часть будет отрицательна и сколь угодно велика по модулю. Все сказанное справедливо и для систем уравнений с запаздывающим аргументом. [32]
Тогда между любыми соседними контурами Cj и Cj i будет находиться точно один нуль квазиполинома R ( P) и ряд ( 57) будет сходиться к решению без группировки членов. Нетрудно проверить, что лемма Жордана останется справедливой после такой малой деформации контуров. Из доказательства леммы Жордана вытекает, что сходимость ряда ( 67) равномерна на любом замкнутом отрезке. [33]
Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения ( 25), а левая часть этого уравнения называется характеристическим квазиполиномом. [34]
Прежде всего найдем асимптотические формулы для нулей квазиполинома, которые дают приближенные значения для больших по модулю нулей квазиполинома. [35]
Для выделения области и0, если она связна, достаточно убедиться, что хотя бы одна ее точка соответствует квазиполиному, все нули которого имеют отрицательную действительную часть. [36]
Нетрудно доказать, что это свойство сохраняется для всех характеристических квазиполинов, соответствующих уравнениям с одним отклонением аргумента, а также для широкого класса характеристических квазиполиномов, соответствующих уравнениям с несколькими отклонениями. [37]
Пусть 5 - множество, состоящее из круга И С, из которого удалены все окрестности ( ое ( г &) корней z квазиполинома R ( z), попавшие полностью или частично в этот круг, и е - окрестность начала координат. Функции Ri ( z) и i) ( z) max ( c0zm, rf0zme - t2 непрерывны на S и не обращаются в нуль на этом множестве. Отсюда и из оценки ( 44) в силу леммы 2 вытекает справедливость оценки вида ( 43) и на всем множестве Де, за исключением е-окрестности начала координат. Покажем, что эта оценка справедлива на всем множестве Ds. [38]
Принимая во внимание такое соответствие в расположении корней функций р ( z) и i) ( z), а также учитывая, что все остальные корни квазиполинома г з ( z) при достаточно малом тт обладают сколь угодно большой по модулю отрицательной действительной частью ( см. стр. [39]
Для уравнения с конечным числом сосредоточенных запаздываний функция g ( p) представляет собой линейную комбинацию произведений вида pkeav ( k - натуральное), которую принято называть квазиполиномом; поэтому и в общем случае мы будем здесь g ( p) называть характеристическим квазиполиномом. [40]
Для уравнений нейтрального типа подобное явление если и возможно, то лишь при очень жестких ограничениях, так как даже в стационарном случае легко привести примеры с бесконечным множеством главных корней характеристического квазиполинома с одинаковой действительной частью, и следовательно, с бесконечным множеством линейно независимых главных решений. [41]
Громовой [22.1] для уравнения ( о) нейтрального тина общего вида в асимптотически критическом случае изучается зависимость скорости убывания решений нри t - oo от запаса гладкости решений и от скорости приближения корней характеристического квазиполинома к мнимой оси. Оказывается, что, несмотря на наличие условия все Не kj 0, в асимптотически критическом случае возможна неустойчивость решений. [42]
Для уравнения у ( х) ау ( х by ( х - h) О ( Л0) функция Р ( К) К - f - a be - Kh называется характеристическим квазиполиномом, а уравнение Р ( К) - О - характеристическим уравнением [ 29, с. Доказать, что характеристическое уравнение может иметь корни не выше второй кратности. [43]
Для уравнения у ( х) - f ау ( х) by ( х - h) О ( h 0) функция Р ( А) Я, - - а - - be - Kk называется характеристическим квазиполиномом, а уравнение Р ( К) 0 - Характеристическим уравнением [ 29, с. Доказать, что характеристическое уравнение может иметь корни не выше второй кратности. [44]
Такая же теорема об устойчивости если все Re kj; О справедлива и для уравнения нейтрального типа, если для всех корней с отрицательной действительной частью sup Re kj i О и имеется лишь конечное число простых чисто мнимых корней характеристического квазиполинома. [45]